Otras carreras Graficar un conjunto

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades para graficar este conjunto. El enunciado dice


Sean $a=-2i$ y $b=2i$. Grafique los conjuntos $A_\lambda = \{ z\in{\mathbb{C} ; | \displaystyle\frac{z-a}{z-b}} | = \lambda \}$ para
$\lambda = 1/4, 4$


Me han mencionado que el gráfico representa una circunferencia para los dos valores de $\lambda$ pero la verdad no logro verlo




De antemano gracias


Saludos

[Breogan]

Re: Graficar un conjunto

Hola:

Hola tengo dificultades para graficar este conjunto. El enunciado dice


Sean $a=-2i$ y $b=2i$. Grafique los conjuntos $A_\lambda = \{ z\in{\mathbb{C} ; | \displaystyle\frac{z-a}{z-b}} | = \lambda \}$ para
$\lambda = 1/4, 4$

$\dst z \in \mathbb C \ \therefore \ z = x + i \ y$

luego:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

multiplicas denominador y numerador por el conjugado del denominador:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora te queda operar y vas a llegar a una ecuación cuadrática que es la solución.
Este es el procedimiento, puede haber algún error en lo que escribi, revisalo por las dudas.

s.e.u.o.

Suerte!!

[Alriga]

Re: Graficar un conjunto

Voy a intentar seguir el camino indicado por Breogan:

$\dfrac{z-a}{z-b}=\dfrac{x + i \ (y + 2)}{x + i \ (y - 2)}=\dfrac{x + i \ (y + 2)}{x + i \ (y - 2)} \cdot \dfrac {x - i \ (y - 2)}{x - i \ (y - 2)}$

$\dfrac{z-a}{z-b}=\dfrac{x^2+y^2-4}{x^2+y^2-4y+4}+i \ \dfrac{4x}{x^2+y^2-4y+4}$

El módulo será

$\left | \dfrac{z-a}{z-b} \right | = \sqrt{\dfrac{x^4+y^4+2x^2y^2+8x^2-8y^2+16}{(x^2+y^2-4y+4)^2}}=$

$=\sqrt{\dfrac{(x^2+y^2-4y+4)(x^2+y^2+4y+4)}{(x^2+y^2-4y+4)(x^2+y^2-4y+4)}}$

$\left | \dfrac{z-a}{z-b} \right | =\sqrt{\dfrac{x^2+y^2+4y+4}{x^2+y^2-4y+4}}=\lambda$

$x^2+y^2+4y+4=\lambda^2 \ (x^2+y^2-4y+4)$

Simplificando, siempre que $\lambda \neq 1$ se obtiene:

$x^2+y^2+\dfrac{4 \ (1+\lambda^2)}{(1-\lambda^2)} \ y+4=0$

Esta expresión es identificable con la ecuación general de una circunferencia:

$x^2+y^2+D x+E y+F=0$

Ahora solo hay que sustituir

$\lambda=\dfrac 1 4$ para el apartado (a) y $\lambda=4$ para el apartado (b)

a) $\lambda=\dfrac 1 4 \ \Rightarrow \ x^2+y^2+\dfrac{68}{15} \ y +4=0$

Es una circunferencia con centro en el punto P(0, -34/15) y radio R=16/15

b) $\lambda=4 \ \Rightarrow \ x^2+y^2-\dfrac{68}{15} \ y +4=0$

Es una circunferencia con centro en el punto P'(0, 34/15) y radio R=16/15

Ya puedes graficar y dibujar las dos circunferencias.

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Graficar un conjunto

Muchas gracias me quedo muy claro. Es bastantte largo y engorroso pero a veces hay que ensuciarse