1r ciclo Potencia de un numero compejo

[Enrique Ortiz Martinez]

Demuestre que:

${z}^{5 } - 1 =$ $(z - 1)$ $({z}^{2 } + 2z cos\frac{\pi}{ 5} + 1)$ $({z}^{ 2} - 2z cos \frac{2}{5 } \pi + 1)$

y deducir estas ecuaciones para $cos \frac{\pi}{5 }$ y $cos \frac{2}{5 }\pi$

Lo que e hecho es esto:

${z}^{5 } - 1 = 0$

${z}^{5 } = 1$

Usando la ecuacion :

${z}_{k } =$ ${e}^{(i\frac{2k\pi}{5 } })$ ; $k = 0,1,2,3,4$

1) Para $k = 0$

${k}_{0 } = 1$


2) Para $k = 1$

${k}_{1 } = {e}^{(i\frac{2}{5 }\pi) }$


3) Para $k = 2$

${k}_{2 } = {e}^{(i\frac{4}{5 }\pi )}$ $= {-e}^{(- i\frac{\pi}{5 }) }$


4) Para $k = 3$

${k}_{3 } = {e}^{(i\frac{6}{5 }\pi)}$ $= {-e}^{(i\frac{\pi}{5 }) }$


5) Para $k = 4$

${k}_{4 } = {e}^{(i\frac{8}{5 }\pi) }$ $={e}^{(- i\frac{2}{5 }\pi) }$


${z}^{5 } - 1 =$ $(z - {z}_{0 })$$(z - {z}_{1 })$$(z - {z}_{2 })$$(z - {z}_{3 })$$(z - {z}_{4 })$

${z}^{5 } - 1 =$ $(z - 1)$$(z - {e}^{(i\frac{2}{5 }\pi) })$$(z + {e}^{(-i\frac{\pi}{5 }) })$$(z + {e}^{(i\frac{\pi}{5 }) })$$(z - {e}^{(-i\frac{2}{5 }\pi) })$

$= (z - 1)$$({z}^{2 }+ z ({e}^{(i\frac{\pi}{5 }) } + {e}^{(-i\frac{\pi}{5 }) })+ 1)$$({z}^{2 } - z ({e}^{(i\frac{2}{5 }\pi) } + {e}^{(-i\frac{2}{5})\pi }) + 1)$

$= (z - 1)$$({z}^{2 } + 2z cos \frac{\pi}{5 } + 1)$$({z}^{2 }- 2z cos \frac{2}{5 }\pi + 1)$


Hasta aquí ya he demostrado la igualdad, pero encuentro las ecuaciones para $cos \frac{\pi}{5 }$ y $cos \frac{2}{5 }\pi$, me podrían ayudar , de antemano gracias