Avanzado ¿Cómo hay que interpretar las ecuaciones de Maxwell con cargas puntuales?

[alexpglez]

Querría saber cómo se interpretan matemáticamente las ecuaciones de Maxwell, aunque no exista el concepto de densidad como tal. Por simplicidad, que no haya campos magnéticos ni cargas en movimiento, entonces tenemos el par:

$$\nabla \cdot E= \rho$$

$$\nabla \times E=0$$

Si buscamos soluciones al menos $C^1$, entonces de 2 tenemos que $E=\nabla \phi$, y nos queda:

$$\nabla^2 \phi=\rho$$

Pero estas ecuaciones sólo tienen sentido si la carga es absolutamente convergente respecto a la medida de Lebesgue: $Q(A)=\int_A d\mu \rho$.

Si la carga no fuese absolutamente convergente respecto a la medida de Lebesgue, ¿como habría que interpretar 1 y 2, qué es $E$?. Ocurre también otro fenómeno curioso, y es que si en ciertos casos, $E: \mathbb R^3-\{0\} \longrightarrow \mathbb R^3$, entonces está dudoso el razonamiento anterior para hallar una ecuación del tipo 3, pues ya no nos movemos en convexos y no tenemos garantizado encontrar $\phi$...

Gracias, saludos

[Dj_jara]

Re: ¿Cómo hay que interpretar las ecuaciones de Maxwell con cargas puntuales?

Las ecuaciones de Maxwell no sólo tienen expresión diferencial, sino también integral. Dependiendo del caso puede ser más conveniente una u otra. Al final en física se podría considerar usando una delta de Dirac, la cuál no es una función, sino una distribución, y te complicaría tu análisis mediante integral de Lebesgue.

La complicación es más matemática que física, en el sentido físico está claro que cuando se hace la integral de volumen, eso tiene que ser la carga (o desde un punto experimental más bien al revés, si se ha medido la carga, se puede intentar definir una densidad cuando tenga sentido)