Secundaria Despeje de ecuaciones

[Taza de Cafe]

Hola tengo problemas al tratar de despejar $y$
en la siguiente ecuación:
$x=\frac{y{}^{2 }-2y}{9+y}$
Lo que yo trate de hacer para tratar de resolver esto fue:
$x(9+y)=y{}^{2 }-2y$
$9x+xy=y{}^{2}-2y$
$9x=y{}^{2}-2y-xy$
$9x=y{}^{2}-(2yx{}^{-1}-y)x$
$\frac{9x}{2yx{}^{-1}-y}=y{}^{2}-x$
$\frac{9x}{2yx{}^{-1}}+x=-y{}^{3}$
$\frac{9x}{(2x{}^{-1})y}+x=-y{}^{3}$
$\frac{9x}{2x{}^{-1}}+x=-y{}^{4}$
$y=\sqrt[4]{\frac{9x}{2x{}^{-1}}-x}$
No se si esta bien o mal, no se si alguien me pudiera ayudar en esto

[angel relativamente]

Re: Despeje de ecuaciones

Hola Taza de Café, cometes tu primer error en el paso

$$9x=y^2-(2yx^{-1}-y)x \Rightarrow \dfrac{9x}{2yx^{-1}-y } =y^2-x$$

Para "pasar dividiendo" lo que está en el segundo miembro de la igualdad a lo que está en el primero, el factor ha de estar multiplicando a TODO el segundo miembro, mientras que tu factor $(2yx^{-1}-y)$ solo está multiplicando al $x$. Observa que "pasar dividiendo" un factor, equivale a dividir ambos miembros de la igualdad por dicho factor. En este caso el paso correcto sería:

$$9x=y^2-(2yx^{-1}-y)x \Rightarrow \dfrac{9x}{2yx^{-1}-y } =\dfrac{y^2}{2yx^{-1}-y}-x$$

Lo cual, todo y ser correcto, no es un buen camino para despejar la $y$ ya que la expresión queda más complicada.

Por supuesto el resto del desarrollo ya no tiene sentido hacerlo, no obstante cometes más errores que creo que es importante remarcar para que aprendas de ellos:

Si fuese cierta la igualdad

$$\dfrac{9x}{2yx^{-1}-y } =y^2-x$$

eso sería equivalente a

$\dfrac{9x}{2yx^{-1}-y } + x = y^2$

Entiendo que en el siguiente paso lo que has hecho es multiplicar por $-y$ para obtener, en el segundo miembro, $-y^3$. Pero entonces en el primer miembro quedaría $\dfrac{-y9x}{2yx^{-1}-y }$ y las $y$ NO se simplifican porque en el numerador está multiplicando y en el denominador está sumando.
PD: En realidad sí puedes sacar factor común a la $y$ en el denominador y simplificar, pero te acabaría quedando en el denominador $2x^{-1}-1$ y no $2yx^{-1}$
Los siguientes dos pasos que haces también son errores aun suponiendo que partes de una expresión correcta. Si has entendido estos dos errores que te marco, ¿sabrías ver cuáles son tus errores?

Creo que es más importante que analices dónde te equivocas en este ejercicio que el ejercicio en sí, ya que son errores muy comunes en secundaria, fruto de que alguna vez alguien te diría "lo que está dividiendo pasa multiplicando y lo que está multiplicando pasa dividiendo".

Si quieres resolver el ejercicio, la forma óptima sería partir de la expresión $9x=y^2-2y-xy$ y reescribirla como $y^2-(2+x)y-9x=0$. Observa que esto es una ecuación de segundo grado en $y$, y ahora solo tienes que despejarla como tal.

Un saludo,
Ángel

[Taza de Cafe]

Re: Despeje de ecuaciones

Gracias angel relativamente por explicarme ello ^-^