Otras carreras Encontrar raíces de un polinomio

[cristianoceli]

Hola como puedo encontrar las raíces de este polinomio:


Ejercicio


Sea $p(x) = 12x^7-41x^6+42x^5+28x^4-96x^3+63x^2+2x-10$


a) Determine todas las raices de $p(x)$ si sabe que $1-i$ es una raiz de $p(x)$
b) Determine el conjunto $\{ x\in{\mathbb{R}} | p(x) \leq{0} \}$


Es obvio que si $1-i$ es raíz entonces $1+i$ también lo es pero de ahí no se como reducirlo para obtener las otras raíces y la parte b) no se me ocurre que hacer


Saludos

[Alriga]

Re: Encontrar raíces de un polinomio

a)

Si a=(i-1) y b=(i+1) son raíces, significa que el polinomio es divisible por (x-a) y también por (x-b), por lo tanto es divisible por su producto

$(x-(1-i))(x-(1+i))=x^2-2x+2$

Haciendo la división sale

$\dfrac{12x^7-41x^6+42x^5+28x^4-96x^3+63x^2+2x-10}{x^2-2x+2}=$

$=12x^5-17x^4-16x^3+30x^2-4x-5$

Si hay raíces enteras solo podrán ser -5, -1, 1, 5 (pues son los únicos divisores del término independiente) Hay que probar los cuatro, y sale que solo +1 es raíz. Dividimos por (x-1)

$\dfrac{12x^5-17x^4-16x^3+30x^2-4x-5}{x-1}=12x^4-5x^3-21x^2+9x+5$

Si hay raíces enteras, a priori solo podrían ser -5, -1, 1, 5. Pero si -5, -1, 5 no eran raíces del anterior polinomio tampoco lo pueden ser de este, por lo que solo hay que probar +1 que sale que es raíz. Dividimos de nuevo por (x-1)

$\dfrac{12x^4-5x^3-21x^2+9x+5}{x-1}=12x^3+7x^2-14x-5$

Volvemos a probar si +1 es raíz y lo vuelve a ser, dividimos de nuevo por (x-1):

$\dfrac{12x^3+7x^2-14x-5}{x-1}=12x^2+19x+5$

Ahora resuelve la ecuación de 2º grado para hallar las 2 últimas raíces. Te saldrán -1/3 y -5/4

b)
Teniendo las raíces, este apartado es trivial comprobando el signo de un punto cualquiera en cada una de las 2 zonas centrales: a la izquierda de -5/4 el polinomio es negativo puesto que es de grado impar, entre -5/4 y -1/3 probando por ejemplo x=-1 sale que el polinomio es positivo, entre -1/3 y +1, probando por ejemplo x=0 sale que es negativo y a la derecha de +1 será positivo, puesto que el polinomio es de grado impar.

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Encontrar raíces de un polinomio

a)

Si a=(i-1) y b=(i+1) son raíces, significa que el polinomio es divisible por (x-a) y también por (x-b), por lo tanto es divisible por

$(x-(1-i))(x-(1+i))=x^2-2x+2$

Haciendo la división sale

$\dfrac{12x^7-41x^6+42x^5+28x^4-96x^3+63x^2+2x-10}{x^2-2x+2}=$

$=12x^5-17x^4-16x^3+30x^2-4x-5$

Si hay raíces enteras serán -5, -1, 1, 5 Hay que probar las cuatro, y sale que solo +1 es raíz. Dividimos por (x-1)

$\dfrac{12x^5-17x^4-16x^3+30x^2-4x-5}{x-1}=12x^4-5x^3-21x^2+9x+5$

Si hay raíces enteras serán -5, -1, 1, 5 Pero si -5, -1, 5 no eran raíces del anterior polinomio tampoco lo pueden ser de este, por lo que solo hay que probar +1 que es raíz. Dividimos por (x-1)

$\dfrac{12x^4-5x^3-21x^2+9x+5}{x-1}=12x^3+7x^2-14x-5$

Volvemos a probar si +1 es raíz y lo vuelve a ser:

$\dfrac{12x^3+7x^2-14x-5}{x-1}=12x^2+19x+5$

Ahora resuelve la ecuación de 2º grado para hallar las 2 últimas raíces. Te saldrán -1/3 y -5/4

b)
Teniendo las raíces, este apartado es trivial, a la izquierda de -5/4 el polinomio es negativo, entre -5/4 y -1/3 el polinomio es positivo, entre -1/3 y +1 es negativo y a la derecha de +1 es positivo.

Saludos.

muchas gracias muy claro

Saludos