Sobre números primos, gap entre primos e infinitos…

[Richard R Richard]

Comprendo lo que me quieres explicar. Pero entiendo como cota otra cosa, haciendo referencia a lo que se hablaba en otros hilos ,fijate que mi debate siempre fue hacia

..... hace que sea imposible la existencia de un "gap" infinito entre dos primos. Pero además existe un teorema matemático, que se llama Teorema de Bertrand–Chebyshev, (inicialmete conjeturado por Bertrand y posteriormente demostrado por Chebyshev), que proporciona el resultado específico que acota superiormente el “gap” entre dos números primos consecutivos:

El teorema dice sencillamente, que el “gap” entre un número primo “n” y el siguiente número primo, es siempre menor que “n”

Teorema de Bertrand–Chebyshev

Si como base admites, que siempre hallarás un primo superior, la diferencia entre este y el anterior estará acotada y menor al valor del primo, lógico, claro y sencillo , pero cuál es la cota del primo .... no tiene, entonces el gap tampoco...

No creo haya excepción a la regla si $n$ crece el gap mínimo crece, si $n$ es infinito entonces el gap también lo será.

Cuando digan que encontraron el número z=123456.... o el que sea, con todas las cifras que se le puedan poner y me digan que no hay un gap superior a ese z, juro que me pongo a calcular uno más grande que la cota...

Esa es mi definicion de cota, z,


Haber si puedo explicarme...
Supongamos que tenemos el método para ir hallando uno a a uno los números primos, hasta el mas grande que queramos...

empezamos

$P={2,3,5,7,11,13,17,19....}$

a su vez

$G_i=P_{i+1}-P_{i}$

$G={1,2,,2,4,2,4,2.....}$

pero conocidos esos números primos

$\prod\limits_1^8 p_i-1=53\cdot197\cdot929$
$\prod\limits_1^8 p_i=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19$
$\prod\limits_1^8 p_i+1=347\cdot27953$

los números primos superior e inferior para ese gap son 9699667 y 9699713 con un gap de tamaño de 46 , para el contable 8 de los primos, ese numero es mayor que cualquiera de los primos del primorial, luego sirve de ejemplo que exista un gap mayor, que cualquiera de los primos que componen el primorial compuesto hasta cualquier contable N y como mínimo hay dos subgrupos con gap de tamaño $p_N-1$ mínimo... como no puedes limitar el valor de $P_N$ tampoco el valor $P_N-1$ es decir no puedes limitar el valor de los Gap, si puedes saber es que para un $P_N$ dado se cumple que $P_{N-1} \geq \frac{P_N} 2$ es decir que el gap hasta ese primo restado su anterior si tiene cota, pero a medida que sube N esa cota aumenta , y no hay tope del mismo modo que no lo hay para los primos...

Estamos hablando de dos conceptos de cota diferente

Si no pones limite al valor que puede tomar un primo, como podría tener limite la diferencia entre el y su anterior, ya se que siempre voy a tener un Primo superior ,sino ya no habría gap, y el conjunto de los primos sería finito.
Por la misma razón que siempre hay un primo entre n y 2n , sin limite para n la maxima diferencia entre primos es $n=2n-n$ y si n no tiene límites entonces el gap no tiene límites...

Aver si voy por el absurdo, fijo la cota en 123456...... o z es lo mismo, empezamos a buscar primos que entre primo y primo su diferencia sea mayor que 123456.... o que z arbitrario, es lógico pensar que vamos a encontrar ese par, por supuesto si hay infinitos primos, luego no puedes poner cota numérica a los gaps, siempre habrá un par de primos que la superen, he propuesto que solo tienes que hallar el gap luego o antes del primorial de todos los primos hasta superar el contable z.

Es decir puede haber cota relativa para $n$ o , $p_n$ dados es decir $g_n<kp_n$ con $k<1 \forall n\in \mathbb N$, que dice el teorema,. da un a cota relativa pero no es lo mismo decir

$g_n <M \in \mathbb N\quad \forall n\in \mathbb N$ que es lo que apunto, una cota absoluta .

si por reducción al absurdo decimos que el conjunto de los primos es es acotado a $n$ valores

$p=(p_1\times p_2\times p_3\times p_4\times... ...\times p_n)+1$ luego $p$ es primo y se convierte en $p_{n+1}$ por lo que la acotación es falsa, del mismo modo

$x_1=(p_1\times p_2\times p_3\times p_4\times... ...\times p_n)+2$ no es primo
$x_2=(p_1\times p_2\times p_3\times p_4\times... ...\times p_n)+3$ no es primo
.....
$x_{p_n}=(p_1\times p_2\times p_3\times p_4\times... ...\times p_n)+p_n$ no es primo

tenemos $x_{p_n}-x_1=p_n-1$ números naturales pertenecientes a un mismo gap como $p_n-1>n$ y $n$ no esta acotado por la reducción al absurdo, luego el gap no tiene cota absoluta, y nada podemos decir de $x_{p_n+1}=(p_1\times p_2\times p_3\times p_4\times... ...\times p_n)+p_n+1$ por lo que la cota relativa máxima para ese n es $p_n$ como ya han dicho... si hallamos siempre un $p_{n+1}$ existirá un gap de tamaño $p_{n+1}-1$ como mínimo. Lo dejo aquí para no ser reiterativo.