Otras carreras Resolver sumatoria

[cristianoceli]

Hola, no me sale este ejercicio.


Resuelva la siguiente sumatoria $\displaystyle\sum_{k=1}^n{}\displaystyle\sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1)$


Lo que he hecho:


$\displaystyle\sum_{k=1}^n{}\displaystyle\sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1) = (2^{1+0}+1) + (2^{2+1}+1) + (2^{3+2}+1) + (2^{4+3}+1) +...+ (2^{n+k}+1)$
$= (2^1+1)+(2^3+1)+(2^5+1)+(2^7+1)+...+(2^{n+k}+1)$
$= 2^{2n-1}+1$ (se me ocurre escribir esto pero no resulta al reemplazar)






De antemano gracias.




Saludos.

[Alriga]

Re: Resolver sumatoria

Primero vamos a intentar resolver:

$\displaystyle \sum_{i=0}^k (2^{k+i}+1)=\sum_{i=0}^k 2^k 2^i+\sum_{i=0}^k 1=2^k \sum_{i=0}^k 2^i+(k+1)$

Este sumatorio $\dst \sum_{i=0}^k 2^i$ es una serie geométrica, por lo tanto $\dst \sum_{i=0}^k 2^i=2^{k+1} -1$

Sustituyendo: $\displaystyle \sum_{i=0}^k (2^{k+i}+1)=2^k(2^{k+1}-1)+k+1=2 \cdot 2^{2k}-2^k+k+1$

Por lo tanto:

$\displaystyle\sum_{k=1}^n \sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1)=\sum_{k=1}^n (2 \cdot 2^{2k}-2^k+k+1)$

Mira a ver si a partir de aquí puedes acabarlo. Hay que proceder de forma muy similar a como hemos hecho arriba.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Resolver sumatoria

Hola, no me sale este ejercicio.

Resuelva la siguiente sumatoria $\displaystyle\sum_{k=1}^n{}\displaystyle\sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1)$

Te daré una pista:
Hagamos

$a_k=\displaystyle\sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1)$

Entonces

$\displaystyle\sum_{k=1}^n{}\displaystyle\sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1)=\displaystyle\sum_{k=1}^n{} a_k$

Hallemos $a_1$:

$a_1=\displaystyle\sum_{i=0}^1{} (2^{1+i}+1)=(2^{1+0}+1)+(2^{1+1}+1)$

$a_1=(2^1+1)+(2^2+1)$

Si te das cuenta, el término $(2^2+1)$ falta en tu desarrollo.

[cristianoceli]

Re: Resolver sumatoria

Muchas gracias a ambos.

Lo intentaré


Saludos