Otras carreras Demostrar que en un triángulo arbitrario se cumple cierta relación

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con esta demostración


Demostrar que para un triángulo $\triangle ABC$ arbitrario se cumple:


$\displaystyle\frac{a-b}{c} = \displaystyle\frac{sin(\displaystyle\frac{1}{2}(A-B))}{cos(\displaystyle\frac{C}{2})}$


He intentado aplicar el teorema del seno para encontrar los valores de $a$ y $b$ y luego hacer la diferencia pero no llego a nada




De antemano gracias

[Alriga]

Re: Demostrar que en un triángulo arbitrario se cumple cierta relación

$\dfrac{a-b}c=\dfrac a c-\dfrac b c=$

Teorema del seno:

$=\dfrac{\sin A}{\sin C}-\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}=$

Para forzar que salga el seno de la semidiferencia de ángulos aplicamos la "identidad de suma a producto":

$=\dfrac{2\cos \dfrac{A+B}2 \sin \dfrac{A-B}2}{\sin C}=$

Por ser un triángulo, los 3 ángulos suman 180º

$A+B=\pi -C$

$=\dfrac{2\cos \left (\dfrac{\pi}2-\dfrac C 2 \right ) \ \sin \dfrac{A-B}2}{\sin C}=\dfrac{2\sin \dfrac C 2 \ \sin\dfrac{A-B}2}{\sin C}=$

Hemos aplicado el coseno del ángulo complementario. Ahora para tener el numerador que nos interesa, pasamos el 2 seno de C/2 al denominador y convertimos C en 2C/2:

$=\dfrac{\sin\dfrac{A-B}2}{\dfrac{\sin 2 \dfrac C 2}{2 \sin \dfrac C 2}}=$

Identidad seno del angulo doble:

$=\dfrac{\sin\dfrac{A-B}2}{\dfrac{2\sin\dfrac C 2 \cos \dfrac C 2}{2 \sin \dfrac C 2}}=$

$\dfrac{a-b}c=\dfrac{\sin\dfrac{A-B}2}{\cos \dfrac C 2}$ c.q.d.

Las identidades trigonométricas que he usado están por ejemplo en la Wikipedia: Identidades trigonométricas

No sé si hay alguna idea feliz que proporcione un método de demostración más corto, a mi no se me ha ocurrido ninguna otra forma más sencilla.

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Demostrar que en un triángulo arbitrario se cumple cierta relación

Muchas gracias. No se me hubiese ocurrido hacerlo asi.


Saludos

[JCB]

Re: Demostrar que en un triángulo arbitrario se cumple cierta relación

Fantástico.