Secundaria Cabras comiendo en un prado

[[Beto]]

Hola, me he topado con el siguiente ejercicio:

Observando un prado,un cabrero dedujo que podría apacentar en el tres cabras durante tres días,o dos cabras durante seis, todas sus cabras pastan a la misma velocidad. ¿cuanto tiempo podría alimentar a una cabra con el pasto de aquel prado?

Mi razonamiento es el siguiente:

Hay tres variables:

$P$: Cantidad de Pasto

$C$: Cantidad de cabras

$D$: Cantidad de días

Luego razonando un poco llego a que $P$ es directamente proporcional a $C$ y $C$ inversamente proporcional a $D$. Con lo que se cumpliría la siguiente relación:

$$\frac{P}{C\cdot D}=\text{constante}$$

Ahora si considero que inicialmente hay una cantidad $p_0$ de pasto y diariamente crece una cantidad $p$ de pasto, entonces obtengo lo siguiente:

$$\frac{p_0+3p}{3\cdot 3}=\frac{p_0+6p}{2\cdot 6}=\frac{p_0+xp}{1\cdot x}$$

De la igualdad de la izquierda obtengo que $p_0=6p$, pero de ser eso cierto entonces con la igualdad de la derecha llego a que $x=6+x$, y me da que $x=0$ ... pero eso no puede ser, se espera una cantidad mayor de dias para una sola cabra ¿En que parte voy mal?

[Fastolfe]

Re: Cabras comiendo en un prado

Hola N30F3B0, el problema se ve entretenido, pero me agradaría saber si posee alguna solución numérica.

[[Beto]]

Re: Cabras comiendo en un prado

Hola N30F3B0, el problema se ve entretenido, pero me agradaría saber si posee alguna solución numérica.

No, solo tengo el enunciado.

[Adosgel]

Re: Cabras comiendo en un prado

Pues por la primera igualdad que has puesto en la fórmula (2), de memoria me dá que cada cabra come al día la misma cantidad de hierba que el prado genera, con lo que con una cabra el prado no mermara en infinitos días. Revisa tus ecuaciones.

La segunda igualdad de (2) no da x=6+x

saca la relacción entre p_o y p en la primera igualdad y sustituye en la segunda.

Saludos.

[carroza]

Re: Cabras comiendo en un prado

Como dice Adosgel, p (la producción diaria del prado) es igual a la cantidad que come una oveja en un día. Por eso, puedes tener una oveja en el prado un tiempo infinito, o al menos hasta que se muera la oveja de vieja.

Este resultado lo obtienes razonando sobre las ecuaciones, no simplemente resolviendo la exuación algebraica.

[[Beto]]

saca la relacción entre p_o y p en la primera igualdad y sustituye en la segunda.

Eso he hecho, y me da así:

En la igualdad de la izquierda:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \frac{p_0+3p}{9}&=\frac{p_0+6p}{12}\\<br /> 12(p_0+3p)&=9(p_0+6p)\\<br /> 12p_0+36p&=9p_0+54p\\<br /> 3p_0&=18p\\<br /> p_0&=6p<br /> \end{aligned}<br />$$

Luego en la de la derecha:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \frac{p_0+6p}{12}&=\frac{p_0+xp}{x}\\<br /> \frac{6p+6p}{12}&=\frac{6p+xp}{x}\\<br /> x(6p+6p)&=12(6p+xp)\\<br /> 12px&=12p(6+x)\\<br /> x&=6+x\\<br /> \end{aligned}<br />$$

Algo debo estar haciendo mal pero no me doy cuenta

Este resultado lo obtienes razonando sobre las ecuaciones, no simplemente resolviendo la exuación algebraica.

¿Cómo lo razonaría?

¿Quizás para que la última igualdad se cumpla el $x$, tendría que tender al infinito, ya que la posibilidad de que sea cero no es aceptable?

[carroza]

Re: Cabras comiendo en un prado

No estas haciendo nada mal. Lo que te falta es interpretar correctamente tus ecuaciones, y razonar.

La ecuación x=6+x no tiene solucion, por lo cual no hay ningun instante de tiempo (positivo o negativo) en el que el prado se te quede sin hierba.

Razonando: Comienzo con un prado con una cantidad de hierba $p_0$, que coincide con 6 veces la hierba que se come una oveja al dia , y coincide con 6 veces la cantidad de hierba que produce un prado al día, $p$. Si pongo una oveja, que cada día se come $p$, nunca se acaba la hierba del prado, porque cada día se produce la misma cantidad $p$.

[Adosgel]

Re: Cabras comiendo en un prado

Luego en la de la derecha:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \frac{p_0+6p}{12}&=\frac{p_0+xp}{x}\\<br /> \frac{6p+6p}{12}&=\frac{6p+xp}{x}\\<br /> x(6p+6p)&=12(6p+xp)\\<br /> 12px&=12p(6+x)\\<br /> x&=6+x\\<br /> \end{aligned}<br />$$

Algo debo estar haciendo mal pero no me doy cuenta

No es que lo estés haciendo mal, es que x=6+x tambien se cumple coon x=infinito.
Pero para saber cual de las dos obciones se cumple en el ejp. tienes que serbirte del algebra para encontrar otro resultado que lo aclare.

No sé latex pero espero que se me entienda

(p_o + 6p)/12 = (p_o + xp)/x

(p_o)x + 6xp = 12p_o + 12xp

(p_o - 6p)x = 12p_o

x= 12p_o/(p_o - 6p)

Al sustituir en el denominador p o p_o, te dá 0.

Saludos.

[Pirata de Silla]

Re: Cabras comiendo en un prado

12

¿alguien da más?

[polonio]

Re: Cabras comiendo en un prado

12

¿alguien da más?

Eso ya estaba resuelto, ¿o no has leído el resto del hilo?

¿Para qué vuelves a un hilo antiguo sin aportar nada nuevo? Cuando se responde a un hilo antiguo es porque se tiene algo nuevo que aportar, si no lo que haces es que los demás pierdan el tiempo y que se consuman recursos para nada.

[Pirata de Silla]

Re: Cabras comiendo en un prado

Eso ya estaba resuelto, ¿o no has leído el resto del hilo?

¿Para qué vuelves a un hilo antiguo sin aportar nada nuevo? Cuando se responde a un hilo antiguo es porque se tiene algo nuevo que aportar, si no lo que haces es que los demás pierdan el tiempo y que se consuman recursos para nada.

Lo siento, mil perdones, disculpe usted. Es que soy nuevo y me he emocianao. Ya puede usted perdonarme. No volverá a ocurrir.

[polonio]

Re: Cabras comiendo en un prado

Disculpado... se te ve emocionado. Eso es bueno.

Pero, lo dicho, no reabras hilos antiguos para nada (mira la fecha del hilo y de las respuestas en la esquina superior izquierda de cada mensaje).