Divulgación ¿Me explican las integrales de linea y las integrales cerradas?

[manotipo]

Un cordial salduo ante todo.

Hasta ahora se sobre integrales definidas normalesm dobles y triples.( de funciones escalares)

Pero ahora quiero comprender las integrales de linea o cerradas??

Tienen que ver con campos vectoriales?? o integracion vectorial??

Son el famoso teorema de GREEN ?

Capo vectorial = funcion vectorial? Quisera aprender a integrar vectores asi como se nos enseña a integrar funciones escalares.

Les agradeceria mucho su ayuda.

salu2

[[Beto]]

Re: ¿Me explican las integrales de linea y las integrales cerradas?

Hola, te explicaré un poco para que te hagas una idea:

La idea de las integrales de linea es proyectar un campo vectorial sobre una curva, por ejemplo para calcular el trabajo que realiza una fuerza $\vec F$ a lo largo de una trayectoria $\vec\ell$, se calcula por la siguiente integral de línea:

$$W=\int \vec F\cdot \dd\vec\ell$$

Para hacerlo algo más esquemático, digamos que sea $\vec F=(x;yx^2)$ y que la trayectoria esté dada por $y=x^2$, si queremos calcular el trabajo realizado entre dos puntos $A$ y $B$, lo que se hará es multiplicar escalarmente a $\vec F$, por el diferencial de longitud $\dd r=(\dd x;\dd y)$ e integrar desde el punto $A$ hasta el punto $B$, de la siguiente manera:

$$W=\int_A^B(x;yx^2)\cdot(\dd x;\dd y)$$

Pero como en este caso [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , luego:

$$W=\int_A^B(x;x^4)\cdot(\dd x;2x\dd x)$$

Y te quedaría que:

$$\int_{x_1}^{x_2}(x;x^4)\cdot(1;2x)\dd x=\int_{x_1}^{x_2}[x+2x^5]\dd x$$

Como ves es sencillo, la idea es integrar el producto escalar de un vector con el diferencial de una determinada trayectoria.

[Enzo]

Re: ¿Me explican las integrales de linea y las integrales cerradas?

Las integrales de línea no necesariamente son cerradas, estas son un caso particular.

Cuando la trayectoria es cerrada puedes aplicar el teorema de Green, de otro modo no es posible.

Hay un libro muy bueno donde puedes consultar estos temas, se llama (casi obvio): "calculo vectorial" de Marsden - Tromba (2 autores)

[Metaleer]

Re: ¿Me explican las integrales de linea y las integrales cerradas?

[FONT=Verdana]Hola.

Aparte del libro que te ha recomendado Enzo, hay uno más que te puedo recomendar donde tratan bien el tema de las integrales múltiples sobre campos escalares y vectoriales y los clásicos teoremas del análisis vectorial:

Tom M. Apostol - Calculus Volumen II

(En inglés el título completo es Calculus, Volumen II - Multi Variable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probability)

Existe otro libro que tiene un resumen teórico al principio de cada capítulo y muchos problemas resueltos, de autores de la Universidad de Málaga de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales:

[/FONT][FONT=Verdana]Métodos Matemáticos. Integración múltiple
Teoría y ejercicios resueltos

[/FONT][FONT=Verdana]Pablo Alberca Bjerregaard y Dolores Martín Barquero
RA-MA Editorial[/FONT][FONT=Verdana]. 2007.

Que está bastante bien, los problemas resueltos son muy didácticos y al final de cada tanda de problemas resueltos hay una colección de problemas propuestos. También introduce algunos conceptos físicos y ecuaciones de la física matemática en la parte teórica, como aplicación de los conceptos matemáticos.

Saludos.
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