Avanzado extremal de una funcional

[davisf]

hola a todos. este es mi problema:

encontrar la extremal de la siguiente funcional:
$J[y(x)]=\int_0^1 \sqrt{y(1+y'^2)}dx$
con $y(0)=y(1)=\frac{ 1 }{\sqrt{2}}$

yo se que es facil pero cuando trate de hacerlo me salio un absurdo asi que mi respuesta fué que no tenia extremal pero queria ver si sus respuestas coinciden con el mio. en este problema se debe usar la ecuacion de euler.

[[Beto]]

Re: extremal de una funcional

Hola, seria bueno que anotes el procedimiento que hiciste para poderte decir si hiciste bien o en que fallaste de forma más rápida, en todo caso, luego intentaré revisar mas detenidamente tu ejercicio.

[davisf]

Re: extremal de una funcional

bien aqui esta mi procedimiento:

como voy a usar la ecuacion euler-lagrange tomo

$$F= \sqrt{y(1+y'^2)}$$

y como veo que esta f no depende explicitamente de $x$ entonces uso la siguiente ecuacion:

$$y'\dfrac{\partial F}{\partial y'}-F=A$$

donde A es una constante. ahora

$$\dfrac{\partial F}{\partial y'}=\frac{1}{2\sqrt{y(1+y'^2)}}.(2yy')$$

de aqui

$$y'\dfrac{\partial F}{\partial y'}=\dfrac{yy'^2}{\sqrt{y(1+y'^2)}}$$

ahora reemplazando en la formula (2)

$$\dfrac{yy'^2}{\sqrt{y(1+y'^2)}}-\sqrt{y(1+y'^2)}=A$$

operando esto

$$\dfrac{-y}{\sqrt{y(1+y'^2)}}=A$$

ahora elevamos al cuadrado (estos pasos son muy informales si se habran dado cuenta) me queda

$${A^2}y'^2-y+A^2=0$$

resolviendo esta E.D.O.

$$y={A^2}(\dfrac{x}{2A^2}+C)^2+A^2$$

esta es la y(x) que es la extremal de mi funcional (lo raro es que en mi examen no me salio asi, me salio una expresion mas sencilla, algo hice mal en mi examen o aqui) y al tratar de evaluar en los puntos x=0 y x=1 me salen unas expresiones trabajosas (en la solucion de aqui. pero en mi examen evaluando obtengo algo como esto $\dfrac{c}{c+1}=1$ para la cual no hay solucion) alguien me puede decir si lo que hice es correcto o incorrecto en todo caso puedo dar puntos por perdidos en ese examen.