Otras carreras Angulo entre dos vectores

[jhonnytunes]

HOla esto me esta comiendo vivo. Tengo ya dos dias sin saber. Para mas decirle tengo el solution y no lo entiendo.
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Dos vectores A y Btienen magnitudes exactamente iguales.
Para que la magnitud de A+B sea 100 veces mayor que la
magnitud de A-B,¿Cual debe ser el angulo entre ellos?

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Se los agradecere en el alma.

[lucass]

Re: Angulo entre dos vectores

Hola.
Yo planteando las ecuaciones correspondientes, sin mucho problema llegué a esto: $\cos {\alpha}= \frac {100^2-1}{100^2+1}$
Simplemente escribiendo lo que da de dato
modulo (A+B) = 100 módulo (A-B)
y elevando al cuadrado para no tener que trabajar con raíces, el resultado no va a cambiar
$[{modulo} (A+B)]^2 = 100^2 [{modulo} (A-B)]^2$
llamando $A_x; A_y; B_x; B_y$ las componentes (se puede trabajar en mas dimensiones, pero debería dar lo mismo...) y ayudandose con la definición de producto escalar ($\vec A \cdot \vec B = |\vec A||\vec B| \cos \alpha$), queda un choclo bárbaro que se va simplificando usando lás hipótesis (por ejemplo, $|\vec A|^2=A_x^2+A_y^2=B_x^2+B_y^2=|\vec B|^2$) y finalmente queda esa expresión de alfa.
No lo revisé, pero supongo que estará bien.
Fijate, quizá llegues a lo mismo.
Si lo tenés que hacer en n componentes, primero hacelo con dos como hice yo, y después fijate como generalizar. (no sé como sería esto de n componentes, no me acuerdo de como tratar los angulos ahí, no se si el producto escalar es el mismo, etc.)

Por ahora eso es lo que puedo hacer para ayudar.
Cualquier error diganme.
Saludos

[jhonnytunes]

Re: Angulo entre dos vectores

La respuesta es correcta. Pero no entendi bien, ¿podrias explicarlos con detalles, por favor? Osea no se de donde sacas el 100-1/100+1

[lucass]

Re: Angulo entre dos vectores

Esto va a ser horrible, pero ahí voy. Pongo A y B para los módulos de los vectores.
Sabemos por datos que:
$A=B$ entonces $A^2=B^2$ entonces $A^2=A_x^2+A_y^2=B_x^2+B_y^2=B^2$
queremos también que $|\vec A + \vec B|=100|\vec A - \vec B|$
entonces también $|\vec A + \vec B|^2=100^2|\vec A - \vec B|^2$
desarrollando esto tenemos:
$(A_x+B_x)^2+(A_y+B_y)^2=100^2[(A_x-B_x)^2+(A_y-B_y)^2]$
sigo...$A_x^2+B_x^2+2A_xB_x+A_y^2+B_y^2+2A_yB_y=100^2[A_x^2+B_x^2-2A_xB_x+A_y^2+B_y^2-2A_yB_y]$
reordeno los terminos así y saco factor comun 2:
$A_x^2+A_y^2+B_x^2+B_y^2+2(A_xB_x+A_yB_y)=100^2[A_x^2+A_y^2+B_x^2+B_y^2-2(A_xB_x+A_yB_y)]$
ahora me acuerdo que $A_x^2+A_y^2=A^2$ y que $B_x^2+B_y^2=B^2$ (recorda que A y B son los módulos) y además se qué $A_xB_x+A_yB_y=AB \cos \alpha$ es el producto escalar de los vectores.
entonces todo el choclo anterior queda así:
$A^2+B^2+2AB \cos \alpha=100^2[A^2+B^2-2AB \cos \alpha]$
pero $A^2=B^2$ por hipótesis, así que:
$2A^2+2A^2 \cos \alpha = 100^2[2A^2-2A^2 \cos \alpha]$
Supongo que de acá ya está, sale fácil. Como A no es cero, se va, junto con el 2. Queda:
$1+ \cos \alpha = 100^2[1- \cos \alpha]$
despejo coseno de alfa y ahí está
$\cos \alpha = \frac {100^2-1}{100^2+1}$
Como ves, no hice mas que escribir las hipótesis y lo que pedía el enunciado y me ayude con el producto escalar para que aparezca el ángulo.
Nos vemos

[materia]

Re: Angulo entre dos vectores

Existe una propiedad que dice i tienes el vector A entonces se cumple:

A.A=lAl²

y como A+B es un vector entonces esta propiedad debe cumplirse.Y tambien para A-B

Luego lA+Bl=100lA-Bl
lA+Bl²=10000lA-Bl²
lAl²+lB²+2AB=10000[lAl²+lBl²-2AB]
20002AB=9999lAl²+9999lBl²
2002lAllBlcos®=9999lAl²+9999lBl²

Pero lAl=lBl
2002lAl²cos®=2x9999lAl²

De alli despejas y listo.

[Al2000]

He visto que este hilo ha sido consultado recientemente y que termina con un mensaje que llega a una solución incorrecta, de manera que he querido señalar el error para evitar confusión a algún lector desprevenido.

No es cierto que $|\vec A + \vec B|^2 = A^2 + B^2 + 2 A B$. Lo correcto es, en el caso general, que $|\vec A + \vec B|^2 = A^2 + B^2 + 2 A B \cos \alpha$, siendo $\alpha$ el ángulo entre los dos vectores. Nótese que la primera expresión sólo es válida si ambos vectores son paralelos.

Entonces la solución al problema puede plantearse así:

Haciendo uso de la regla del paralelogramo para sumar vectores y de la ley del coseno

$$|\vec A + \vec B|^2 = A^2 + B^2 + 2 A B \cos \alpha$$

$$|\vec A - \vec B|^2 = A^2 + B^2 - 2 A B \cos \alpha$$

Imponiendo las condiciones de que $|\vec A + \vec B| = 100 |\vec A - \vec B|$ y que $A = B$, se obtiene

$$100^2 |\vec A - \vec B|^2 = 2 A^2 (1 + \cos \alpha)$$

$$|\vec A - \vec B|^2 = 2 A^2 (1 - \cos \alpha)$$

Dividiendo miembro a miembro y despejando $\cos \alpha$ se obtiene la solución que indica lucass en el segundo mensaje.

Saludos,

$\mathcal A \ell$