1r ciclo Problema de EDO de 2º orden

[Gallinita amarilla]

Hola! soy nueva en el foro. Me gustaría saber como resolveríais el siguiente ejercicio.
Si y1 e y2 son dos soluciones de una EDO lineal homogénea de segundo orden sobre [a,b] que tienen un cero común en ese intervalo, demostrad que son linealmente dependientes.

Gracias!

[alespa07]

Re: Problema de EDO de 2º orden

Hola! soy nueva en el foro. Me gustaría saber como resolveríais el siguiente ejercicio.
Si y1 e y2 son dos soluciones de una EDO lineal homogénea de segundo orden sobre [a,b] que tienen un cero común en ese intervalo, demostrad que son linealmente dependientes.

Gracias!

Hola. LLamemos $W(y_1,y_2)$ al wronskiano de las dos soluciones de la ecuación diferencial

$y''+a_1(x)y'+a_1(x)y=0$

Para demostrar lo que pretendes, me parece que te falta una condición sobre los coeficientes $a_1,a_2$, esto es, deberían ser continuos en $[a,b]$ ( si no me equivoco...).

Si es así, es fácil mostrar ( deberías de tener esta demostración en tus apuntes) que el wronskiano viene dado por:

$W(y_1,y_2)=W_0{\rm e}^{-\int_{x_0}^xa_1(x)dx}$

con $W_0=W(y_1,y_2)_{x=x_0}$ una constante.

Entonces, si existe un punto de $[a,b]$ para el cual se anula el wronskiano, este es idénticamente nulo en todo el intervalo. En efecto, se tiene que:

$\exists x_0\in[a,b]|W(y_1,y_2)_{x=x_0}\longrightarrow W_0=0\longrightarrow W(y_1,y_2)=0,\forall x \in [a,b]$

Entonces, ya hemos ganado porque, según ti enunciado, si llamamos $x_0$ al cero que comparten $y_1$ e $y_2$, el wronskiano será nulo en este punto y, según lo que hemos mostrado, será nulo para todos los puntos del intervalo. Por ello:

$\forall x \in [a,b]\quad y_1y_2'-y_1'y_2=0$

Supongamos que, en un principio, escogemos los valores de $x$ que no anulan $y_1$ ( verás luego como nos quitamos este engorro) entonces podemos dividir la ecuación anterior por $y_1^2$ obteniendo así:

$\displaystyle\frac{y_1y_2'-y_1'y_2}{y_1^2}=\left(\displaystyle\frac{y_2}{y_1}\right)'=0$

Luego:

$\displaystyle\frac{y_2}{y_1}=C$

con $C$ una constante. Luego, usando el teorema de existencia y unicidad se puede demostrar que para todos los puntos del intervalo ( incluido los que anulan $y_1$) podemos escribir que:

$y_2=Cy_2\longrightarrow y_1,y_2$ son lineamente dependientes

y eso acabaría tu demostración. Espero que te sirva.

Saludos.

[Gallinita amarilla]

Re: Problema de EDO de 2º orden

Muchisimas gracias! Sabía que la demostración iba por ahí pero no era capaz de terminarla y ya lo he entendido. Gracias de nuevo.