1r ciclo Cálculo variacional

[Metaleer]

Hola.

Bueno, igual esto es una tontería, pero vamos, tenemos el siguiente teorema:

Si $f(x)$ es una función continua en el intervalo $(x_1, x_2)$ y si

$\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x) \eta (x) dx = 0$

para toda función $\eta(x)$ diferenciable con continuidad que satisface las condiciones de contorno $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$, entonces $f(x) = 0$ en el intervalo $(x_1, x_2)$.

En principio, este teorema muestra que para que $\displaystyle I = \int_{x_1}^{x_2} F(y, y', x) dx$ sea estacionaria, $F$ debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange:

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left ( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0,$

pero es que sinceramente no veo la conexión.

A ver si alguien me puede iluminar.

Saludos.

[Juanma1976]

Re: Cálculo variacional

Hola Metaleer, la relación es ésta:

Para que $\displaystyle I = \int_{x_1}^{x_2} F(y, y', x) dx$ sea estacionaria debe ser mínima. Si expresas la curva $y(\alpha,x)=y(0,x)+\alpha\eta(x)$ con $\eta$ diferenciable con continuidad y cumpliendo $\eta(x_1)=\eta(x_2)=0$ tenemos una família uniparamétrica de curvas con origen y final común. Por lo tanto para que el valor de $I$ sea estacionario es necesario que $\frac{\partial I}{\partial \alpha}=0$.

Derivando bajo el signo de la integral:

$\frac{\partial I}{\partial \alpha}=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\alpha}+\frac{\partial F}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial\alpha}dx=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y}\eta(x)+\frac{\partial F}{\partial y'}\eta '(x)dx$

El segundo miembro de la integral se puede integral por partes y da

$\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y'}\eta '(x)dx=\frac{\partial F}{\partial y'}\eta(x)|_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial}{\partial x}\left (\frac{\partial F}{\partial y'}\right )\eta(x)dx=-\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial}{\partial x}\left (\frac{\partial F}{\partial y'}\right )\eta(x)dx$ ya que $\eta(x_1)=\eta(x_2)=0$.

Reagrupando la integral queda

$\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\left (\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y'}\right )\eta(x)dx=0$ para toda $\eta$ con $\eta(x_1)=\eta(x_2)=0$

De donde se deduce que $I$ es estacionario es equivalente a que la función $f=\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y'}=0$ sea identicamente nula por el primer teorema.

Saludos.

PD: Extraído del Marion páginas 206 y 207.

Hola.

Bueno, igual esto es una tontería, pero vamos, tenemos el siguiente teorema:

En principio, este teorema muestra que para que $\displaystyle I = \int_{x_1}^{x_2} F(y, y', x) dx$ sea estacionaria, $F$ debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange:

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left ( \frac{\partial F}{\partial y'} \right ) = 0,$

pero es que sinceramente no veo la conexión.

A ver si alguien me puede iluminar.

Saludos.

[alespa07]

Re: Cálculo variacional

Hola.

Bueno, igual esto es una tontería, pero vamos, tenemos el siguiente teorema:

En principio, este teorema muestra que para que $\displaystyle I = \int_{x_1}^{x_2} F(y, y', x) dx$ sea estacionaria, $F$ debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange:

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left ( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0,$

pero es que sinceramente no veo la conexión.

A ver si alguien me puede iluminar.

Saludos.

Hola Metaleer.
Coges un conjunto de caminos vecinos identificados por un parámetro infinitesimal $\alpha$, es decir el conjunto $\{y(x,\alpha)\}$ con $y(\alpha,0)$ el camino correcto. Intoduces la función variación $\eta(x)$ tal que:

$\eta(x_1)=\eta(x_2)=0$

Entonces, tienes que:

$y(x,\alpha)=y(x,0)+\alpha\eta(x)$

Ahora I es un funcional de $\alpha$ y la condición para obtener un punto estacionario es:

$\left(\displaystyle\frac{dI}{d\alpha}\right)_{\alpha=0}=0$

Ahora usas la regla de la cadena para dreivar bajo el signo integral y usas el teorma que planteaste. Debería salir solo.

Espero que te sirva

Saludos.

Disculpa Juanma. Se está volviendo una costumbre que nos cruzemos!!

[Juanma1976]

Re: Cálculo variacional

Jeje! pues es verdad.

Disculpa Juanma. Se está volviendo una costumbre que nos cruzemos!!

[Metaleer]

Re: Cálculo variacional

Muchas gracias a los dos, al final no era para tanto.