2o ciclo Homología y Homotopía

[fisiko88]

Hola a todos,

Pues mi duda es que no entiendo bien la diferencia que hay entre el grupo de homotopía y el grupo de homología H1. Donde radica la diferencia entre homología y homotopía, es que estoy estudiando unos apuntus de ello y no logro apreciar la diferencia (ya que además señala que en general la homología es más útil que la homotopía por ser + fácil de hallar su grupo, pero tampoco veo porque esto es así).

Un saludo y gracias!!

[fisiko88]

Re: Homología y Homotopía

Venga porfi, q no puedo avanzar , algún cuerdista q se que de eso saben mucho

Gracias!!

[SO3]

Re: Homología y Homotopía

Desde el punto de vista matemático, el grupo fundamental proporciona mucha mas informacion que el primer grupo de homologia pero como bien has dicho es mas dificil de calcular.

Por el Th de Hurewicz, ocurre que el primer grupo de homologia es el abelianizado del primer grupo de homotopia (el cociente del grupo fundamental por el subgrupo conmutador), es decir, estan muy relacionados, y por supuesto, si el primer grupo de homotopia es abeliano coinciden.

Sin embargo, cuando trabajas con homologia no consideras simplemente el H1(X), si no que consideras todo el complejo Hn(X), que por ejemplo, trabajando en manifolds, sabes que para n mayor que la dimension se anula, en variedades,por el th de De Rham ocurre que la homologia es isomorfa a la cohomologia de De Rham,es decir,se obtiene por ejemplo que la existencia de campos potenciales etc viene determinada por la topologia del espacio, sin embargo, la homotopia no es tan simple,fijate por ejemplo los grupos de homotopia superior de las esferas para n>1.

En resumen, quiza las diferencias mas simples serian que la homotopia se define en espacios punteados, si bien es cierto que en espacios arcoconexas es independiente del punto, el isomorfismo no es natural, mientras que la homologia se define en la categoria de espacios topologicos y la homologia es siempre abeliana, lo cual es falso en homotopia (el ejemplo mas facil, la figura 8).

Sobre topologia algebraica, un libro bastante entretenido para mi gusto es Topology and Geometry , de Bredon, que es un libro bastante completo y para homologia lo hace de forma bastante agradable para mi gusto, a diferencia de la mayoria de libros de introduccion a la homologia, no se pone pesado con cuestiones de simplices etc, si no que trata la homologia utilizando los axiomas de Eilenberg-Steenrod-Mac lane y deduce muchas cosas suponiendo solo la existencia de una homologia con coeficientes enteros y posteriormente verifica que la homologia singular es una homologia en el sentido de los axiomas (excision , exactitud, etc).


Sobre homotopia, tanto el libro de Bredon como el de Munkres, Topologia, son bastante buenos para empezar, y en llos encontraras bastante bibliografica interesante.

Ademas, en internet puedes encontrar los apuntes de Hatcher, creo que se llaman Algebraic Topology, donde trata ambos temas, asi como cohomologia y homotopia superior.

No se si he resuelto tu duda, si eres un poco mas explicito intentare acabar de ayudarte .

[fisiko88]

Re: Homología y Homotopía

Muchas gracias SO3, aunque no lo acabo de enteder del todo (pues tengo poco background en teoría de grupos y topología), creo que por lo menos me he hecho un poco una idea de las diferencias. Voy a volver a estudiarme los apuntes que tengo y miraré los libros que me has comentado y si tengo dudas más concretas ya volveré a preguntar.

Muchas gracias una vez más y Feliz Navidad!!!

[eljose]

Re: Homología y Homotopía

Alguno sabe (ya meitdos en el tema) donde encontrar apuntes de Cohomologia (no cosmologia) y de Sistemas dinamicos ??