Otras carreras integrar

[german2008]

hola, me podrian sugerir como enfrentar esta integral?

(x^2)-1/(x^4)+1

he intendado factorizando tanto numerado como denominador para despues hacer una sustitucion de variable pero se transforma en algo mucho mas complejo. y tambien sustituyendo directamente "x" por seno pero tampoco me da.

el profesor dice que hay un truco especial para resolverla, alguien me podria indicar cual es el truco aqui?, gracias!

[nico_palermo]

Re: integrar

Hola, a ver... corríjanme si me equivoco...

$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2-1}{x^4+1}dx$

Primero:
$x^4+1 = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

Ahora expresamos el cociente como suma de fracciones simples:
$\displaystyle\frac{x^2-1}{x^4 + 1} = \displaystyle\frac{Ax + B}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}+\displaystyle\frac{Cx+D}{x^2 + \sqrt{2}x + 1}$

Sacamos denominador común:

$\displaystyle\frac{(Ax+B)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)+(Cx+D)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)}{(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)}$

Distribuyendo y agrupando:

$\displaystyle\frac{x^2-1}{x^4+1}=\displaystyle\frac{x^3(A+C)+x^2(\sqrt{2}A+B-\sqrt{2}C+D)+x(A+\sqrt{2}B+C-\sqrt{2}D)+(B+D)}{(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)}$

Sabiendo que los numeradores son iguales se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$A + C = 0$
$\sqrt{2}A + B - \sqrt{2}C + D = 1$
$A+\sqrt{2}B + C - \sqrt{2}D = 0$
$B + D = -1$

Cuya solución es:
$A=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$
$B=-\displaystyle\frac{1}{2}$
$C=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$
$D=-\displaystyle\frac{1}{2}$

Reemplazando llegamos a que:
$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2-1}{x^4 + 1}dx = \displaystyle\int \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}x -\displaystyle\frac{1}{2}}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}dx+\displaystyle\int \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}}{x^2 + \sqrt{2}x + 1}dx$

$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2-1}{x^4 + 1}dx = \displaystyle\int \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{2}x -1)}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}dx+\displaystyle\int \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{2}x+1)}{x^2 + \sqrt{2}x + 1}dx$

$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(x -\frac{1}{\sqrt{2}})}{(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2<br /> +\frac{1}{2}}dx+\displaystyle\int \displaystyle\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}(x+\frac{1}{\sqrt{2}})}{(x + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{1}{2}}dx$

$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(x -\frac{\sqrt{2}}{2})}{(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2<br /> +\frac{1}{2}}dx+\displaystyle\int \displaystyle\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}(x+\frac{\sqrt{2}}{2})}{(x + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{1}{2}}dx$

Ahora viene la sustitución en cada integral

$u=x - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$du=dx$
$v=x + \frac{\sqrt{2}}{2}$
$dv=dx$

$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}u}{u^2+\frac{1}{2}}du+\displaystyle\int \displaystyle\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}v}{v^2 + \frac{1}{2}}dv$

$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\displaystyle\int \displaystyle\frac{u}{u^2+\frac{1}{2}}du-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\displaystyle\int \displaystyle\frac{v}{v^2 + \frac{1}{2}}dv$

Se realiza otra sustitución

$t=u^2+\frac{1}{2}$
$dt=2u.du$

$z=v^2+\frac{1}{2}$
$dz=2v.dv$

$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\displaystyle\int \displaystyle\frac{dt}{2.t}-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\displaystyle\int \displaystyle\frac{dz}{2.z}$

$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\displaystyle\int \displaystyle\frac{dt}{t}-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\displaystyle\int \displaystyle\frac{dz}{z}$

$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}(Ln |t|-Ln |z|)+C$

$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}Ln \frac{|t|}{|z|}+C$

$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}Ln \frac{|u^2+\frac{1}{2}|}{|v^2+\frac{1}{2}|}+C$

$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}Ln \frac{|(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}|}{|(x + \frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}|}+C$

Y luego de un rato escribiendo numeritos, simbolitos y letras se llega al resultado

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: integrar

Hola, a ver... corríjanme si me equivoco..
$x^4+1 = (x^2+1).(x-1).(x+1)$

Si se desarrolla el lado derecho nos va a resultar que $(x^2 +1 )(x-1) (x+1) = x^4 - 1$ que no es lo mismo que $x^4+1$.

Pueden tratar lo siguiente que tal vez resulte $x^4+1= (x^2 +\sqrt{2} x +1)(x^2 -\sqrt{2} x +1)$ a lo mejor pueden llegar a algo

[nico_palermo]

Re: integrar

Ups, gracias José, ya corregí mi error...
El desarrollo de esa integral es muy largo si alguien la quiere terminar bienvenido sea

Saludos

[electr0n]

Re: integrar

Hola!

Nico_palermo, has hecho la parte más tediosa del cálculo: la descomposición en fracciones y la búsqueda de coeficientes. Las integrales a las que has llegado son inmediatas sin más que reorganizarlas un poco, no hace falta completar los cuadrados:

$\displaystyle\int{\frac{x^2-1}{x^4+1}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{\sqrt{2}x-1}{x^2-\sqrt{2}x+1}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}dx}=$

$<br /> \displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{2x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}dx}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{2x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}dx}=<br />$

$<br /> \displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}}[ln(x^2-\sqrt{2}x+1)-ln(x^2+\sqrt{2}x+1)]+C<br />$

$<br /> \displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}+C<br />$

Saludos

[nico_palermo]

Re: integrar

Electrón, terminé mi desarrollo y hay una sutil diferencia entre tu resultado y el mío... Como generalmente cometo errores imagino que algo habré hecho mal y no me doy cuenta...
Ves donde está el error?

Saludos

[electr0n]

Re: integrar

Hola de nuevo!

Me parece que el fallo lo tienes aquí:

$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}u}{u^2+\frac{1}{2}}+\displaystyle\int \displaystyle\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}v}{v^2 + \frac{1}{2}}$

$\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}\displaystyle\int \displaystyle\frac{u}{u^2+\frac{1}{2}}du-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}\displaystyle\int \displaystyle\frac{v}{v^2 + \frac{1}{2}}dv$

es decir, has intercambiado numerador y denominador en el coeficiente que sale de las integrales. Si corriges ese error, al final sale el 2 en el denominador que te falta para llegar al resultado correcto

Resulta loable el esfuerzo y tiempo que has invertido en resolverla con varios cambios de variable (y escribirlo todo en LATEX). No obstante, te recomiendo que te fijes bien en las integrales inmediatas para evitar rodeos innecesarios!

Un saludo.

[nico_palermo]

Re: integrar

Mmmm Ya veo... ahora corregiré los cálculos. GRACIAS
Es por no escribirlo en papel, lo fui desarrollando sobre el latex

Realicé las sustituciones por dos razones, alguna vez me han hecho hacer un examen sin tabla de integrales y como no me caracterizo por tener gran memoria siempre trato de reducir por medio de sustituciones a la expresión mas simple cuyas integrales son fáciles de recordar
y en otro motivo es que ahora no tengo una tabla de integrales a mano! jajaja

Por otra parte realicé todo el desarrollo completo porque he buscado y buscado por la web esa integral y no encontré ningún sitio donde este desarrollada en forma completa y prolija.

Ahora quedará para futuras búsquedas

Saludos

[electr0n]

Re: integrar

Bueno, esa misma integral seguramente no está por internet, pero sí que hay muchas páginas donde explican la resolución de "integrales racionales". En este caso hay que escribir la descomposición en fracciones con polinomios de grado 1 en el numerador debido a que los denominadores tienen raíces complejas. Por otra parte, las expresiones a las que habías llegado son integrales inmediatas porque los numeradores son claramente próximos a las derivadas de los denominadores, lo cual indica a todas luces un logaritmo neperiano (y sin necesidad de recurrir a las tablas).

A mí particularmente me gusta mucho la resolución de integrales. Como consejo para los que están empezando con ello, creo que lo mejor que pueden hacer es resolver MUCHAS y con varios métodos diferentes

Un saludo.