1r ciclo resolucion de una integral

[ser humano]

hola, me gustaria que me puedan ayudar a resolver la siguiente integral:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

les agradezco por su tiempo

[Dj_jara]

Re: resolucion de una integral

Esa integral depende del camino, por ejemplo si quieres ir de (0,0) a (1,0), puedes ir por una linea horizontal con lo que y = 0 y la integral daría 0,
También podrías ir por y = 1/2 - 1/2 cos(pi * x) con lo que la integral da 0.955978.
Así que deberías concretar un poco más tu pregunta.

[ser humano]

Re: resolucion de una integral

hola, gracias por responder. Lo que pretendo hacer es demostrar que para cualquier cuerpo que orbite otro en una orbita eliptica como consecuencia de la atraccion gravitatoria, el momento angular es constante. Para eso lo que se me ocurrio hacer es integrar el momento de fuerza, que seria:

$M=\frac {GmM}r$ siendo r la distancia al foco de la elipse

entonces $L= GmM\int\frac 1 r \mathrm{d}t$

y como $a=\frac {GM}{r^2} \rightarrow r=\sqrt{\frac {GM}{a}}$

por lo que la expresion anterior la podria escribir como:

$L=GMm\int \frac 1 {\frac{\sqrt{GM}}{\sqrt a}}\mathrm{d}t=\frac{GMm}{\sqrt {GM}} \int \sqrt a\mathrm{d}t$

entonces ahi viene mi consulta, ya que $\sqrt a =a^{\frac 1 2}$ y por ello la integral -que no se resolver- seria [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

como puedo hacer?

[Saplaya]

Re: resolucion de una integral

Hola a todos. A la expresión del momento de fuerzas que has puesto, le falta multiplicar por el seno del ángulo, ya que es un producto vectorial. Como la fuerza es central y el vector posición es desde el centro (foco), el ángulo es cero y por tanto $M=0$.

Un saludo

[Dj_jara]

Re: resolucion de una integral

Aparte si demuestras que el momento angular es constante lo que estas diciendo es que el movimiento se produce en un plano, lo cual no implica que el movimiento sea elíptico.

[ser humano]

Re: resolucion de una integral

Hola a todos. A la expresión del momento de fuerzas que has puesto, le falta multiplicar por el seno del ángulo, ya que es un producto vectorial. Como la fuerza es central y el vector posición es desde el centro (foco), el ángulo es cero y por tanto $M=0$.

que despistado que soy ¬¬

Aparte si demuestras que el momento angular es constante lo que estas diciendo es que el movimiento se produce en un plano, lo cual no implica que el movimiento sea elíptico.

Yo ya parto de que es una orbita eliptica, y queria notar que el momento angular era constante (para demostrar la segunda ley de Kepler)

[electr0n]

Re: resolucion de una integral

Hola.

Hay un método más elegante y sencillo de demostrar que el momento angular es constante en el movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza central, considerando las propiedades del producto vectorial.

El momento angular se define como el vector $\vec L=\vec r\times\vec p$, donde $\vec r$ es el vector de posición de un cuerpo de masa m con momento lineal $\vec p=m\vec v$ sometido a una fuerza $\vec F$ dirigida siempre a un mismo punto O (ejemplo = foco de la elipse en una órbita planetaria).

Para ver cómo cambia con el tiempo, calculamos su variación respecto del tiempo:

$<br /> \displaystyle \frac{d\vec L}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec r\times\vec p)=\frac{d\vec r}{dt}\times\vec p+\vec r\times\frac{d\vec p}{dt}<br />$

En el primer sumando, $\displaystyle\frac{d\vec r}{dt}$ es la variación de la posición respecto del tiempo, es decir, la velocidad $\vec v$. En el segundo, sabemos por la segunda ley de Newton que $\displaystyle\frac{d\vec p}{dt}$ es igual a la fuerza $\vec F$:

$<br /> \displaystyle \frac{d\vec L}{dt}=\vec v\times\vec p+\vec r\times\vec F<br />$

Como $\vec p=m\vec v$, tenemos que $\vec v\times\vec p=m\vec v\times\vec v=\vec 0$; y por definición sabemos que $\vec r\times\vec F=\vec M$, donde $\vec M$ es el momento de la fuerza en cuestión. Por tanto:

$<br /> \displaystyle \frac{d\vec L}{dt}=\vec r\times\vec F=\vec M<br />$

Ahora bien, está claro que en esta situación, dado que $\vec F$ siempre está dirigida al centro de fuerzas, los vectores $\vec r$ y $\vec F$ tienen la misma dirección y sentidos opuestos, por lo que su producto vectorial también se anula: $\vec r\times\vec F=\vec M = \vec 0$:

$\displaystyle \frac{d\vec L}{dt}=\vec M=\vec 0$

$\vec L$ es un vector constante (en el tiempo)

Un saludo