1r ciclo Integral definida con logaritmo neperiano ¿negativo?

[rosaleda]

Hola buenas noches, en un problema de termodinámica tengo que resolver la integral definida entre 0.25 y 0.01 de: -0.07/(V-0.5) dv

Al realizar la integral me sale:

-0.07 [ln(-0.49) - ln(-0.25)] pero el logartimo neperiano de un número negativo no puede existir.
Con la calculadora puedo efectuar la operación y me da como resultado -0.047Julios, resultado correcto, pero que quiero poder averiguar respecto a la integral.

Gracias

[arreldepi]

Re: Integral definida con logaritmo neperiano ¿negativo?

Cuando integras una función que tiene como resultado el logaritmo, éste se coge en valor absoluto (si no te comes la mitad de las soluciones posibles ),piensa que la función que has integrado, no daba ningún problema para ese valor.

Un saludo!

[Al2000]

Re: Integral definida con logaritmo neperiano ¿negativo?

Es posible que les pueda resultar interesante este comentario de Tom Gutman en el foro de Mathcad comentando sobre la forma en la cual el programa integra la funcion 1/x:

Start by remembering that the log function is only properly defined for positive real numbers. While there are various extensions to negative and complex numbers, none really work right. Using the typical principal value approach you end up with a function that is not a proper inverse to the exp function, and which does not satisfy the basic logarithmic identities (such as ln(ab)=ln(a)+ln(b)).

The proper general indefinite integral of 1/x is ln(kx), where k is a constant. For this to make sense, it is required that kx be real and positive. It is not required that k and x individually be so, nor have their logarithms defined (they could be negative, complex, or even physical quantities with units).

The form ln(|x|) is equivalent, for real x, to choosing k=1 for positive x and -1 for negative x. This form then works with no problems for an integral from a to b where a and b have the same sign. If a and b have different signs, then using that form is equivalent to using a different value of k (the constant of integration) for the two end points. This is an error, and introduces an error of $\pi$i in the result. But integrating from a to b with a and b having different signs means integrating over the singularity at zero. That is also an error, and introduces an error of $\pi$i. It turns out that the two errors cancel, so the form ln(|x|) gives the correct result integrating from a to b (a, b real) regardless of the signs of a and b. Hence the possible usefulness of this incorrect form.
__________________
Tom Gutman

Saludos,

Al

PD. Creí pertinente añadir que en el caso en cuestión aquí en realidad no hay ningún error, ya que se está haciendo la resta de dos logaritmos, es decir, el logaritmo de un cociente. Ambos argumentos son negativos, de modo que en realidad se está calculando el logaritmo de un número positivo.

Es común al resolver una integral definida que resulta en un logaritmo, como por ejemplo $\dst \int_a^b \frac {dx} x$, escribir el resultado como la diferencia de dos logaritmos, cuando lo correcto sería tomar el logaritmo del cociente: $\dst \int_a^b \frac {dx} x = \ln \frac b a$ (en vez de $\ln b - \ln a$). Si los valores de $a$ y $b$ tienen dimensiones, la primera forma es correcta mientras que la segunda no lo es.

En muchas ecuaciones en Física aparece el logaritmo de una cantidad con dimensiones. Por ejemplo, al calcular el potencial eléctrico de un filamento cargado, aparece la expresión $\ln r$ en la ecuación resultante. Puesto que $r$ es una distancia, $\ln r$ no está definido. Sin embargo la aparición de esta expresión está ligada a un cambio medido respecto a un nivel de referencia que por conveniencia se toma como la unidad ($\ln r/r_0$ con $r_0 = 1 \text m$).

[Adosgel]

Re: Integral definida con logaritmo neperiano ¿negativo?

En mi opinión, este tipo de razonamientos ayudan a la interpretación física de las matemáticas.

Saludos.

[rosaleda]

Re: Integral definida con logaritmo neperiano ¿negativo?

Gracias por la ayuda, asi me ha quedado claro. Gracias!