Otras carreras Fórmula de Energía(Integrales de línea)

[Elias]

Hola!
Sea f un campo y $\gamma$ una curva tal que para todo t real se cumple que $f(\gamma (t))=m\gamma\;''(t)$ donde m es una constante.
Muestre que:
$\displaystyle\int_{\gamma (a)}^{\gamma (b)}fd\gamma =\displaystyle\frac{1}{2}m \left\|{\gamma\; '(b)}\right\|^2-\displaystyle\frac{1}{2}m \left\|{\gamma\; '(a)}\right\|^2$

Saludos

[electr0n]

Re: Fórmula de Energía(Integrales de línea)

Podría ser algo así:

Hacemos el cambio de variable

$\displaystyle u(t)=\gamma '(t)=\frac{d\gamma}{dt}$

$d\gamma=u(t)dt$

Entonces la integral queda

$<br /> \displaystyle\int{f(\gamma)d\gamma}=\int{m\gamma ''d\gamma}=m\int{\frac{du}{dt}u(t)dt}=m\int{udu}=\frac{m}{2}u^2+C=\frac{m}{2}\gamma '(t)^2+C<br />$

que, evaluada entre los dos límites, resulta:

$<br /> \displaystyle\int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)}{f(\gamma)d\gamma}=\frac{m}{2}\gamma '(b)^2-\frac{m}{2}\gamma '(a)^2<br />$

Saludos.

PD: Me pillas de buenas y te lo he resuelto, pero a ver si nos enteramos de que no estamos para resolver problemas como ordenadores; así que, (con perdón hacia los jefes) la próxima vez que plantees algo sin decir dónde tienes la duda o cómo has intentado hacerlo, te pondré como respuesta www.google.es :P