Secundaria Sumas con factoriales

[Jose D. Escobedo]

Muchos saben simplificar esta progresion aritmetica (o serie)

$\dst \sum_{i=1}^{ n}i = 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

y Tambien esta progresion geometrica (o serie)

$\dst a + ar + ar^2 +... + a r^n= \frac{a (1 - r^{n+1})}{1-r}$

Como propuesto alguien sabe como simplificar esto:

$1\cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot3!+...+ n \cdot n!= ?$

Su solucion es muy simple e ingeniosa

[carroza]

Re: Sumas con factoriales

La solución es (n+1)!-1

Demostración


$(n+1)! - 1 = (n+1)n! -1 = n (n!) + n! - 1$

y aplicando recurrencia se obtiene la serie que planteas.

[Jose D. Escobedo]

Re: Sumas con factoriales

Si esa es la respuesta ( that was too easy for you carroza ).

Esta fue en la forma que yo encontre la demostracion.

sumandole 1 a la serie dicha, tenemos que:$1+ 1\cdot 1! + 2\cdot 2!+ 3\cdot 3!+....+ n\cdot n! \Rightarrow$

$2! + 2\cdot 2! + 3\cdot 3! +...+ n\cdot n! \Rightarrow$

$3! + 3\cdot 3!+...+ n\cdot n!$ y a si sucesivamente hasta (parece un efecto domino no creen)

$n! + n \cdot n! = (n+1)!$ y finamente le tenemos que restar 1 para obtener la serie original$\Rightarrow$

$1\cdot 1! + 2\cdot 2!+...+ n\cdot n! = (n+1)! -1$

Saludos y hasta la proxima