Secundaria Determinar la antiderivada

[Luke]

Me colaboran determinando la siguiente antiderivada? Si es posible paso a paso para entender el proceso. Muchas gracias

[Al2000]

Re: Determinar la antiderivada

Luke, no hay "paso a paso" a menos que te quieras ir hasta el concepto de derivada usando límites. Se trata de aprenderse como un loro una pequeña cantidad de antiderivadas básicas y unos pocos métodos de integración. Lo demás es puro tanteo y error, mucho uso de la experiencia y la intuición. En este momento estás en una situación similar a cuando tuviste que aprenderte las tablas de sumar, etc.

La antiderivada de $\dst x^n$, siendo $n \ne -1$ una constante es $\dst \frac {x^{n+1}}{n+1}$. La antiderivada del producto de una función por una constante es simplemente la antiderivada de la función multiplicada por la constante. Entonces, paso por paso, tienes:

$\dst \int g_{(x)}\, dx = \int \frac {x^{-3}} 4\,dx = \frac 1 4 \int x^{-3}\,dx = \frac 1 4 \, \frac {x^{-3+1}}{(-3+1)} = \frac 1 4 \, \frac {x^{-2}}{(-2)} = - \frac {x^{-2}} 8$

Saludos,

Al

[Luke]

Re: Determinar la antiderivada

Al muchas gracias por la explicación.

[Luke]

Re: Determinar la antiderivada

AL necesito un favor, me podrías colaborar explicándome de una manera básica la diferencia entre "Antiderivar" e "integrar" ? si es ponsible con un ejemplo sencillo. Muchas gracias de antemano

[arreldepi]

Re: Determinar la antiderivada

Hola, la verdad es que antiderivar no es una palabra que se use mucho, lo que pasa es que algunas veces se abusa de la palabra integrar y, en general, todo el mundo acaba llamando a la antiderivada integral definida o primitiva (pero claro, no existe el verbo primitivar xD).

Una antiderivada es, buscar una función tal que cuando la derives te de la función que estás antiderivando, por ejemplo, la antiderivada de $x$ sería $x^2/ 2 + c$. Cuando uno se pone a hacer cosas con primitivas una constante C no tiene ningún significado, no nos sirve de nada que nos digan que la posición de un cuerpo es vt+c si no sabes que esa c es la posición inicial. La palabra integral tiene más sentido cuando se habla de las sumas de Riemman (que seguramente te explicarán cuando te introduzcan la integral definida). Las sumas de Riemman calcula el área bajo una curva mediante particiones de esta,

Primero calcularías el área de todos los rectángulos tomando como altura de cada uno el valor máximo de la función en ese intervalo, luego haces lo mismo tomando como altura al valor mínimo de la función en ese intervalo. Entonces puedes sumar todas las áreas de los rectángulos por exceso (los que tiene como altura el valor máximo de la función) y luego sumas las áreas de los rectángulos por defecto (los que tienen como altura el valor mínimo de la función). Entonces, lo que tienes son dos valores que marcan dos cotas, es decir, el área real de la función estara entre esos dos. Si tú vas aumentando el número de particiones de la función (que tiendan a infinito) llegarás a saber cuál es el valor del área bajo la curva.

Muchas veces a esto se le llama el "paso al contínuo", porque pasas de trabajar con propiedades discretas (dicho de una forma muy vaga, que puedes separar) a tener un "medio" contínuo.

Es decir, la suma que realizabas ahora se transforma en una integral que calcula el área de todos los rectángulos de base $\dd x$ y altura $f(x)$

$$\sum_{i=1}^{n} (x_{i+1}-x_i)f(x) = \sum_{i=1}^{n}\Delta x\cdot f(x) \qquad\Rightarrow \qquad\int_{a}^{b} f(x)\dd x$$

La notación que he usado para la primera suma no es del todo formal, pero es para que te hagas un poco a la idea.

Es decir, que respondiendo a tu pregunta una inegral es "una suma", lo que pasa es que curiosamente para conocer el valor de esa suma tenemos que antiderivar la función de la cual queremos saber el valor del área bajo su curva. De ahí el lazo entre antiderivar e integrar.

Bueno, te he metido un rollo muy largo xD, pero espero que hayas entendido un poco la diferencia entre antiderivar e integrar, antiderivar no conduce a algo con un sentido, simplemente te dice de qué función proviene la que estás antiderivando, en cambio, como ves, una integral definida tiene un sentido mucho más ámplio.


Espero no haber dicho nada raro ni poco coherente, de ser así supongo que alguien me corregirá.

Un saludo!