1r ciclo Calculo aproximado de una integral doble

[[Beto]]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Calcular de forma aproximada la siguiente integral

$$\iint_De^{\sin x\cos y}\dd x\dd y$$

donde $D$, es la región formada por un disco centrado en el origen y de radio $z$.

Creo tener idea de como desarrollarlo, ya que como dice que se lo haga de forma aproximada y tomando en cuenta que $\sin x\cos y<<1$, entonces puede expandir en serie de taylor a la exponencial, despreciando en primera aproximación términos de segundo orden, es decir la integral que me piden calcular, de forma aproximada sería:

$$\iint_D(1+\sin x\cos y)\dd x\dd y$$

El otro asunto, son los límites de integración ... ¿cómo los tomo?

[Al2000]

Re: Calculo aproximado de una integral doble

$|\mathrm {sen} \, x \cos y|$ no es mucho menor que 1 aunque si es menor que 1. Como yo lo veo los límites son desde $-z$ hasta $z$ y desde $\dst - \sqrt{z^2-y^2}$ hasta $\dst \sqrt{z^2-y^2}$.

La integral que planteas tiene una solución simbólica sencilla. Si se incluye el siguiente término del desarrollo del exponencial la integral no tiene solución analítica.

Te comento que hice una prueba numérica tomando un disco de radio $z = 2 \pi$ y la aproximación que planteas tiene un error por defecto de un 11% aprox.

Saludos,

Al

[[Beto]]

Re: Calculo aproximado de una integral doble

Hola, si no es mucha molestia quisiera saber cual es esa solución simbólica sencilla, ya que no consigo llegar a ella, al integrar $1+\sin x\cos y$, entre los límites dados, no consigo una solución simbólica.

[Al2000]

Re: Calculo aproximado de una integral doble

Probablemente integraste primero en y... si lo hiciste te metiste en el rollo de calcular la integral del seno de la raiz cuadrada de... Si integras primero en x la integral del seno se anula porque es una función impar y estás integrando entre límites simétricos y te queda la integral de 1 (uno). Llegas al resultado $\pi z^2$.

Tal ves te resulte interesante que si desarrollas la función original en series de Taylor de dos variables alrededor del origen obtienes la aproximación $\dst \ee ^{\, \mathrm {sen} \,x \cos y} \approx 1 + x$ que te lleva a la misma respuesta. En este caso es fácil incluir un término adicional. Supongo que por la paridad de la función coseno la variable $y$ no aparece en una aproximación de tres términos y obtienes $\dst \ee ^{\, \mathrm {sen} \, x\cos y} \approx 1 + x + \frac 1 2 x^2$ que por supuesto es de fácil integración y te lleva la la respuesta $\dst \pi (z^2 + \frac 1 8 z^4)$. Ahora yo no soy matemático y no tengo idea de que tan lejos se pueden llevar estas aproximaciones, aunque la evaluación numérica de la integral en un disco de radio unitario da una mejor aproximación al valor real.

Saludos,

Al