1r ciclo o pequeñ de Landau y función de clase C^2

[mocc]

Buenas!Tengo una duda sobre dos ejercicios:

En una me piden comprobar si la función

$f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^2} ->(x,y) distinto de (0,0)$

$f(0,0)=0 ->(x,y)=(0,0)$

es de clase C2.

He calculado las derivadas segundas, y por ejemplo

$\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=\frac{2xy^3(x^2-3y^2)}{(x^2+y^2)^3}$

como para ser de clase C2 las derivadas segundas han de ser continuas, ha calculado el límite de las derivadas en el origen,en el caso de la derivadas anterior:

$lim_{ r->0} (\frac{\partial ^2f}{\partial x^2})=lim_{r->0} (\frac{2r^2 cos(t)sin(t)^3(r^2 (cos(t)^2-3sin(t)^2))}{r^6})=no_existe$

Por tanto, la función ya puedo afirmar que no es de clase C2, no?

Y otra duda:

Me piden calcular el límite

$lim_{x->0}(\frac{x^2 e^{sin(x)}-log(1+x^2)}{tan(x))-atan(x)})$

usando desarrollos de Taylor, por lo que he hecho:

$e^{sin(x)}=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x)^3$

$log(1+x^2)=x^2+o(x)^3$

$tan(x)=x-\frac{x^3}{3}+o(x)^3$

Por tanto:

$lim_{x->0}\frac{x^2(1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^3))-x^2-o(x)^3}{x+\frac{x^3}{3}+o(x)^3-x+\frac{x^3}{3}-o(x)^3}$

Pero las $o(x)^3$ del numerador no se me anulan que hago con ellas??las omito, o pongo el término $(x^2 -1)o(x)^3$??

Muchísimas gracias!

[Metaleer]

Re: o pequeñ de Landau y función de clase C^2

Hola, mocc.

En efecto, para el campo escalar que propones, el límite de la segunda derivada parcial con respecto a $x$ cuando uno se acerca al origen no existe. Este límite, que se ha comprobado que no existe, debe coincidir con el valor de la segunda derivada parcial en el origen, tanto con respecto a $x$ como con respecto a $y$, para hablar de campo escalar de clase $\mathcal{C}^2$, o lo que es lo mismo, dos veces diferenciable con continuidad.

Veamos el límite:

Se tiene que

$\displaystyle x^2 e^{\sin x} = x^2+x^3+ \mathcal{O}\left(x^4\right),$
$\displaystyle \log (1+x^2) = x^2+ \mathcal{O}\left(x^4\right),$
$\displaystyle \tan x = x+\frac{x^3}{3}+\mathcal{O}\left(x^4\right)$

y

$\displaystyle \arctan x = x-\frac{x^3}{3}+\mathcal{O}\left(x^4\right).$

Así, el límite pedido es:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2+x^3+ \mathcal{O}\left(x^4\right) - (x^2+ \mathcal{O}\left(x^4\right))}{x+\frac{x^3}{3}+\mathcal{O}\left(x^4\right) - (x-\frac{x^3}{3}+\mathcal{O}\left(x^4\right))} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{\frac{2}{3}x^3} = \frac{3}{2}.$

Saludos.

[mocc]

Re: o pequeñ de Landau y función de clase C^2

Pero por qué en la O pones $x^4$ en vez de $x^3$??la potencia que hay que ponerle, no es la misma que orden del desarrollo de Taylor?

Muchísimas gracias por tu respuesta

[Metaleer]

Re: o pequeñ de Landau y función de clase C^2

Realmente, tienes que procurar que todo encaje; me explico. Si tú tienes que

$\displaystyle f(x) = \mathcal{O} (g(x)),$

eso significa que

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0.$

Apartir de $\displaystyle \log (1+x^2) = x^2+ \mathcal{O}\left(x^3\right)$ tienes que

$\displaystyle \log (1+x^2) - x^2= \mathcal{O}\left(x^3\right),$

es decir, $f(x) = \log (1+x^2) - x^2$, $g(x) = x^3$.

Cierto es que

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log(1+x^2) - x^2}{x^3} = 0,$

pero también lo es

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log(1+x^2) - x^2}{x^4} = 0,$

así que tanto monta, monta tanto poner

$\displaystyle \log (1+x^2) = x^2+ \mathcal{O}\left(x^4\right),$

que

$\displaystyle \log (1+x^2) = x^2+ \mathcal{O}\left(x^3\right),$

lo único que tienes que procurar que las $\mathcal{O}$es tengan el mismo orden en todos los sumandos para que se vayan. Si hubieras dejado $\mathcal{O}(x^3)$ te quedan ahí y no los puedes simplificar.

Para la arcotangente no tienes problemas, ya que apartir de los dos primeros términos tienes directamente la $\mathcal{O}$ de orden 4, y para la tangente, tres cuartos de lo propio, aunque sacar el polinomio de Taylor de la tangente es algo más laborioso.

Saludos.