Divulgación Breve e interesante igualdad

[furiouslogic]

Si tenemos 2 funciones, la exponencial $f(x)=e^x$ y la parabólica $g(x)=1-x^2=$ y deseamos calcular la intersección entre ambas las igualamos y tenemos:

$e^x=1-x^2$
$e^x+x^2=1$
$x=\ln(1-x^2)$

Una respuesta es prácticamente evidente $x_1=0$ y el otro valor de x es negativo $x_2<0$ y a partir de la gráfica es $x_2\approx \frac{\sqrt{50}}{10}$. ¿cuál es el procedimiento más directo para despejar ambos valores de x no como valor real, sino como un racional, radical, factor de $\pi$, etc.?

muchas gracias por los comentarios



Fe de erratas:

Dice: $x_2\approx \frac{\sqrt{50}}{10}$
Debe decir: $x_2\approx - \frac{\sqrt{51}}{10}$

[Metaleer]

Re: Breve e interesante igualdad

Hola, furiouslogic.

Se trata de una ecuación trascendente (no puedes despejar utilizando métodos algebraicos), y una manera de obtener la solución es utilizando las técnicas de los métodos numéricos, junto con auxilios gráficos. La situación es ésta:

Como ves, una de las soluciones es la que dijiste en un principio. La otra está cerca de $x = -0,7$, es decir, más o menos lo que pusiste pero me imagino que no pusiste el signo por motivo de una errata.

Vamos a ver cómo se traga esto el método de Newton-Rhapson.

Definimos la función $f(x) = e^x - 1 + x^2$, y se trataría de encontrarle los ceros a esta función. El método de Newton-Rhapson se trata de un método iterativo, que apartir de un valor inicial $x_0$, lo más cercano posible a la raíz, se va aproximando con menos error cada vez a la solución deseada. La fórmula iterativa es:

$\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},$

donde empezamos con $x_0 = -0,7$. Como $f'(x) = e^x + 2x$, tenemos

$\displaystyle x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = -0,7 - \frac{e^{-0,7} - 1 + (-0.7)^2}{e^{-0,7} + 2\cdot (-0,7)} = -0,714849,$

y este es el valor que usaríamos para calcular $x_2$, y así sucesivamente. Utilizando una calculadora que tiene implementado este algoritmo, he obtenido la siguiente solución:

$x = -0,714556384.$

Saludos.

[furiouslogic]

Re: Breve e interesante igualdad

Interesante. Es decir, que de acuerdo a este planteamiento de solución por Newton-Rhapson de todas formas necesitamos el auxilio gráfico para determinar el valor inicial para realizar las iteraciones. Aunque podríamos tomar un valor cualquiera dentro del dominio para el caso $x<0$ e ir calculando una mayor precisión para el resultado.

Comprendido

[Metaleer]

Re: Breve e interesante igualdad

Interesante. Es decir, que de acuerdo a este planteamiento de solución por Newton-Rhapson de todas formas necesitamos el auxilio gráfico para determinar el valor inicial para realizar las iteraciones. Aunque podríamos tomar un valor cualquiera dentro del dominio para el caso $x<0$ e ir calculando una mayor precisión para el resultado.

Comprendido

Realmente, tienes que tener cuidado con qué valor empiezas a iterar, por tres motivos:

1) Puede converger a una raíz que no te interesa. En este ejemplo, si empiezas a iterar demasiado cerca de $x = 0$, converge a esa raíz, pero esa es la trivial y ya la conoces. He estado con la calculadora un rato, y si empiezo a iterar en $x_0 = -0,35$, converge a $x = 0$, pero para $x_0 = -0,45$ ya converge a la deseada.

2) Si empiezas a iterar demasiado cerca de un punto donde la derivada se anula, o donde ésta no exista, o de un punto de inflexión, o de un punto demasiado lejos de la raíz, o si la derivada no es continua (pero existe) en el punto de la raíz,... el método puede que no funcione y diverja. Debes tener en cuenta que esto no es sino una sucesión definida de forma recursiva, y de la cual conocemos el primer valor para poder sacarlas todas, y como toda sucesión, puede converger, puede dispararse a infinito o...

3) puede oscilar. Esto le ocurre $f(x) = x^3 - 2x + 2$, si tomas como $x_0 = 0.$

Claro, nuestra función se comporta de forma decente, relativamente hablando, y por eso hemos podido sacar la raíz con este método sin demasiado problema.

Saludos.