Secundaria Derivadas, tipos

[angel relativamente]

Hola. Verán estoy intentando aprender derivadas por mi cuenta, pero hay muchos tipos, y un método distinto para cada tipo.
¿Alguien me puede hacer un pequeño croquis con todos los tipos de derivadas que existen?
(Exponenciales, logaritmicas, ...)
Ademas, también he oído hablar de tres reglas. La regla de la suma, la regla de la cadena y la del producto...
Tambien he visto la derivada de un cociente... En resumidas cuentas, que las derivadas estan hechas un lío por mi cabeza, me gustaría ordenarlas y poder empezar a estudiarlas una por una.
Agradezco de antemano sus respuestas.
Saludos!

[Laron]

Re: Derivadas, tipos

Jajaja en el colegio el prof me pidió que hiciera una tabla con todos los tipos de derivada y nunca lo hise , mira ésta

http://www.terra.es/personal2/jpb000...aderivadas.htm

NaClu2 _/

[Arri]

Re: Derivadas, tipos

Yo conozco una página de matemáticas donde te vienen los temarios explicados y con ejercicios resueltos, igual te sirve para practicar ;P

www.vitutor.com

Espero que te sirva

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: Derivadas, tipos

Aunque ahora te va a venir grande, hay un libro de título "Manual De Formulas Y Tablas Matematicas" y autor Murray Spiegel que es muy completo y útil para estudiantes de ciencias en general y de física en particular.

Mi recomendación, por supuesto, es que te lo compres y de tanto en tanto le vayas echando un vistazo.

En cuanto al tema de las derivadas, en el libro están todas, ordenaditas y vestidas de domingo. El poblema es que vienen en una forma más general de modo que al principiante absoluto tal vez lo pueda despistar asi que BEWARE!. Aun así, si tienes decidido estudiar una carrera de ciencias, sin duda será una buena inversión.

[Cris]

Re: Derivadas, tipos

Hola Angel!

Esto del cálculo de derivadas, implica el conocimiento de ciertos teoremas, operaciones matemáticas, y otros elementos... No se si sea adecuado, en principio reducirlo a una insípida y fría tabla...

Comencemos por este concepto:

La derivada de una funcion f es otra función f ' (léase "f prima") cuyo valor en cualquier número c es:

$$f '(c) = \lim_{h \to 0 }{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$$

Siempre que este límite exista y no sea $\infty$ o $-\infty$

O sea, es determinar el límite del cociente de la función incrementada f (c+h) menos la función sin incrementar y dividida entre h, cuando el valor de h tiende, camina o converge a cero.

Si hay algo que necesitas que se amplie, avisas...

Saludos

[juantv]

Re: Derivadas, tipos

La definicon que ha dado cris es la realmente importante, de ahi deduces las reglas(de la suma, producto y cociente) , Todo.

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: Derivadas, tipos

Te paso un enlace libre pa que puedas ver la estructura del libro mientras meriendas sentado en casa un bocadillo de mortadela. Inconvenientes: está en inglés y solo puedes ver 40 páginas.

[idontknow]

Re: Derivadas, tipos

Como bien dice Cris, esa es la "fórmula" elemental.

Así pues, por si te cuesta esto de los límites, a modo de ejemplo:

${\bf f(x) = k , k \in \Re }$

$f'(x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h \to 0 }{\frac{k-k}{h}}=\lim_{h \to 0 }{\frac{0}{h}}=0$

${\bf f(x) = x^n , n \in \Re }$

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Y así con el resto. Creo que la demostración más chunguilla son las trigonométricas porque hay relaciones que pocos tienen en mente (yo tampoco me las sé).

Así pues a modo resumen:

${\bf f(x) = k , k \in \Re => f'(x)=0}$

"derivada de una constante es 0"

${\bf f(x) = x^n , n \in \Re => f'(x)=nx^{n-1}}$

Y fíjate que cuando tengas una raíz no es más que el caso $x^n$. Lo único que has de hacer es convertirla primero a notación potencial y luego ya trabajas con esta fórmula. Lo mismo si es $\frac{1}{x^n}$

${\bf f(x) = sin(x) => f'(x)= cos(x)}$
${\bf f(x) = cos(x) => f'(x)= -sin(x)}$
${\bf f(x) = tan(x) => f'(x)= \frac{1}{cos^2(x)}}$

${\bf f(x) = arcsen(x) => f'(x)= \frac{1}{\sqrt {1-x^2}}}$
${\bf f(x) = arccos(x) => f'(x)= \frac{-1}{\sqrt {1-x^2}}}$
${\bf f(x) = arctan(x) => f'(x)= \frac{1}{1+x^2}}$

Estas últimas suelen salir y vale más que te las aprendas bien (las de arcs). Fíjate además que los elevado en senos, cosenos y tangentes se suelen poner después de la función pero antes del contenido de la función para no confundirse pensando que la función está elevada a algo.

${\bf f(x) = k^x, k \in \Re => f'(x)= k^x \cdot ln(k)}$

con lo que si la base es e:

${\bf f(x) = e^x => f'(x)= e^x \cdot ln(e)=e^x}$

"derivada de exponencial LOOOO MISMO por el neperiano de la base"

${\bf f(x) = ln x => f'(x)= \frac{1}{x}}$

"derivada de neperiano 1 partido lo de dentro"

Para otros logs haz un cambio de base a neperiano.

${\bf f(x) = x^x => f'(x)=x \cdot x^{x-1}+x^x \cdot ln (x)}$

"derivada de una función exponencial y potencial es igual a la derivada de la función como si fuera exponencial MÁS la derivada de la función como si fuera potencial"

Y yo diría que esta es la tabla completa de derivadas que has de saber. Luego claro está hay las 4 reglas:

Derivada de suma/resta: Suma/Resta de derivadas (Separas los sumandos como si fueran derivadas solas y al final lo juntas todo)

Derivada de producto: derivada del primero (factor) por el segundo (factor) más el primero (factor) por la derivada del segundo (factor). Los () es para que te aclares la primera vez. Apréndete esa frase sin los (factor)

Derivada del cociente: derivada del primero (numerador) por el segundo (denominador) MENOS el primero (numerador) por la derivada del segundo (denominador) partido denominador al cuadrado. Vamos como un producto pero restando y con el cuadrado debajo del denominador.

Regla de la cadena: Para mí, la más importante. Tu derivas cómo te he dicho y cuando acabes de derivar multiplicas por la derivada de lo de dentro. Dicho de otra manera, has de comer:

$f(x) = sin(x^4-x) => f'(x)= cos(x^4-x)(4x^3-1)$

Te pones con la mano como el símbolo de < desde el principio y vas derivando TODO lo que tengas. Cada vez que derives una cosa nueva la metes detrás multiplicando. Así el ejemplo de antes, lo primero que te encuentras es el coseno. Derivas coseno. Después te encuentras su paréntesis. Derivas el paréntesis y lo pones multiplicando.

Otro ejemplo:

$f(x) = e^{x^2+x+90} => f'(x)= (e^{x^2+x+90})(2x+1)$

Para aplicar esta regla con las otras 3 reglas, fíjate que esta última se aplica SIEMPRE luego cuando en las otras 3 te decía que derives, has de derivar todo "comiendo" como te dice esta 4ª regla y no dejarlo para el final

Básicamente, eso es lo que necesitas para derivar. Otra cosa es que entiendas que significa, pero supongo que si estás introducido lo sabrás

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: Derivadas, tipos

bueno, aunque sea salirse un poco del hilo, vale la pena hacer hincapié en EL ORIGEN INTUITIVO que tiene la operación derivada.

El concepto de derivada se origina en los contextos de la geometría y la físca en los siguientes poblemas concretos:

(1) poblema de calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto dado. (2) poblema de determinar la velocidad de un cuerpo en un instante concreto de tiempo.

La operación límite arriba descrita es solo la abstracción de una operación (valga la redunfdciancia) que surge una y otra vez en muchos poblemas de la ciencia y tecnología.

[angel relativamente]

Re: Derivadas, tipos

Muchas gracias a todos por vuestros comentarios, de veras.

${\bf f(x) = x^n , n \in \Re }$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y así con el resto. Creo que la demostración más chunguilla son las trigonométricas porque hay relaciones que pocos tienen en mente (yo tampoco me las sé).

Es curioso porque yo acababa de subir un artículo de blog con esta demostración

Y bueno había pensado en subir todas las demostraciones de las derivadas al blog, poco a poco. Así que si alguien se anima puede publicar un blog con la demostración de alguna derivada, como las trigonométricas.

Saludos y muchas gracias!

[lucass]

Re: Derivadas, tipos

Otro ejemplo:

$f(x) = e^{x^2+x+90} => f'(x)= (e^x)(2x+1)$
p

Hay un error aquí. Debería decir $f'(x)= e^{x^2+x+90}(2x+1)$
Saludos

[idontknow]

Re: Derivadas, tipos

Hay un error aquí. Debería decir $f'(x)= e^{x^2+x+90}(2x+1)$
Saludos

Ups, se me fue el santo al cielo. Corregido

[arreldepi]

Re: Derivadas, tipos

${\bf f(x) = x^x => f'(x)= x^{x-1}+x^x \cdot ln (x)}$

[FONT=Verdana]A mí esta me sale diferente, de todas formas para este tipo hay una forma que creo que es un poco más fácil (como mínimo a mí me gusta más), aunque si estás empezando quizás te cueste un poco.[/FONT]

Lo que puedes hacer es tomar logaritmos en ambos lados

$$\ln f(x) = x\ln x$$

Ahora para hallar la derivada de $f(x)$ tienes que derivar ambos lados, en la derecha te quedará la derivada del logaritmo de $f(x)$ que, como te han dicho antes es la derivada de la función dividido por la función, con lo cual, aplicando en la derecha la regla de derivación del producto de funciones:

$$\frac{\dd (\ln f(x))}{\dd x} = \frac{\dd(x\ln x)}{\dd x} \quad\to\quad(\ln f(x))' = (x\ln x)'$$

Así que

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln x + x\frac 1x = \ln x + 1$$

Como $f(x) = x^ x$ si lo pasas a multiplicar al otro lado tienes que

$$f'(x) = x^x\left(\ln x + 1\right)$$

Para hacerlo de la forma que te propone idontknow, tendrías que considerar

$$f(x) =u(x)^{v(x)},$$

y aplicar la regla de la cadena, pero yo la encuentro más difícil .


Saludos!

[idontknow]

Re: Derivadas, tipos

Bien bien, corrigiendo. Con tanto escrito tuve fallos gordos. Está bien lo mío ahora arreldepi. Me había dejado una x multiplicando. A mi es que mi profe me lo enseñó así pero me ha gustado eso de los neperianos, me lo apunto.