Divulgación Volumen al rotar esta región

[furiouslogic]

Buen día a todos,

Tengo una duda que quiero compartir con ustedes en busca de iluminación



Si sabemos que el área de una función acotada en [0,3] es A=3.46, entonces, si rotamos toda la región sombreada alrededor del eje x, ¿obtendríamos el siguiente volumen? (A=área de la curva en [a,b])

$V=2\pi \cdot A$
$\Rightarrow \ V=2\pi \int_{0}^{3}3.46 \mathrm{d}x$

Esta duda la tengo porque aparentemente pareciera más lógico hacerlo de esta forma que aplicar algún método para sólidos de revolución que por cierto conozco perfectamente. Además este planteamiento emula el cálculo de la superficie de una curva al rotar una función sobre x que sabemos tiene la forma equivalente: (L=longitud de la curva en [a,b])

$A=2\pi \cdot L_{curva}$

Todo comentario es bienvenido. Muchas gracias.



[Editado: la última función decía V=...]

[Al2000]

Re: Volumen al rotar esta región

Disculpa, parece que omitiste el radio de giro, el volumen es $\dst V = 2 \pi r_\text {CM} A$ (igual en el caso del área barrida por una curva al girar).

Saludos,

Al

[furiouslogic]

Re: Volumen al rotar esta región

Hola, no he omitido ningún dato. Si leemos atentamente la pregunta notarás que no estoy comentando los métodos para calcular sólidos de revolución, sino que estoy preguntando por un planteamiento.

gracias,

[Metaleer]

Re: Volumen al rotar esta región

Ese procedimiento no es correcto, ya que no conoces la forma de la función $f(x)$, y te voy a proponer un contraejemplo. Sea primero la función $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$; si giras ésta en torno al eje $X$ y te restringes a $x \in [0, 1]$, obtienes la mitad del volumen de la esfera de radio unidad, $2/3 \pi$. El área de la cuarta parte de circunferencia en este caso es $\pi/4$; considera ahora la función $g(x) = \pi/4$, que entre $x= 0$, y $x = 1$ delimita la misma área que la cuarta parte de circunferencia que antes. No obstante, usando el método de discos, el volumen es:

$\displaystyle V = \int_0^1 (\pi/4)^2 dx = (\pi/4)^2,$

que no coincide con $2/3 \pi$. Lo que te intenta proponer Al2000 no es sino uno de los teoremas de Pappus y Guldin, y en efecto, para poder realizar correctamente el problema, hace falta la expresión analítica de $f(x)$ para aplicar el método de discos, o en su ausencia, el dato que señala Al2000.

Saludos.

[furiouslogic]

Re: Volumen al rotar esta región

Exacto esa diferencia de resultados es el punto de mi cuestionamiento. Precisamente la duda es por qué la forma $A=2\pi \cdot L$ que es el cálculo común para el área superficial obtenida al rotar una curva $f(x)$ en donde su longitud es una conocida integral $L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f(x)']^2} \mathrm{d} x$ sí es posible. En breve es rotar $2\pi$ veces la longitud y en cambio no es posible obtener el volumen correcto con el análogo $V=2\pi \cdot A$ en donde A es el área también obtenida con una integral conocida.

Me doy cuenta perfectamente de que los resultados matemáticos no son iguales entre lo que planteo y los métodos conocidos y por lo tanto también se que se trata de una proposición incorrecta. Sin embargo, deseo ir más allá de la argumentación de que es erróneo porque devuelve un resultado distinto a los métodos conocidos para sólidos de revolución. Lo que busco es precisar el error del planteamiento. Más allá de conformarme con un incorrecto, busco comprender el motivo, el por qué está mal. Al fin y al cabo si tomamos un área como la del gráfico y la giramos "dejando trazas" lo que obtenemos es un sólido. De eso no hay duda. Del mismo modo en que si giramos un triángulo rectángulo obtenemos un cono. Entonces por qué sí está bien calcular el área superficial en función a una rotación de $2\pi \ rad$ de la longitud de una curva y en cambio no es correcto calcular el volumen al rotar $2\pi \ rad$ un área de la función acotada. Por qué no funciona ese planteamiento. Ojalá se pueda captar el sentido de mi cuestionamiento.

Muchas gracias por el rigor matemático/físico. Esa es una de las cosas que me atraen de este foro.

[Al2000]

Re: Volumen al rotar esta región

...
Entonces por qué sí está bien calcular el área superficial en función a una rotación de $2\pi \ rad$ de la longitud de una curva y en cambio no es correcto calcular el volumen al rotar $2\pi \ rad$ un área de la función acotada. Por qué no funciona ese planteamiento. Ojalá se pueda captar el sentido de mi cuestionamiento.
...

Pero es que estás equivocado en ambos casos. Nota que incluso estás siendo inconsistente desde el punto de vista dimensional, poniendo que un área es igual a una longitud o un volumen es igual a un área. En ambas expresiones te falta multiplicar cor el radio de giro del centroide de la curva o del área.

Saludos,

Al

[ser humano]

Re: Volumen al rotar esta región

Hola, creo haber captado lo que propones. Si es así entonces creo notar un motivo por el que no es valido lo planteado:
En principio, me parece que el calculo expresado intenta expresar la idea de que la "lamina" del area se repite $2\pi$ veces en toda la revolución. La idea de una lamina de un espesor diferencial no me parece en sí tan alocado, siendo que con ellas se puede construir las ecuaciones para los ortoedros, a partir de las areas de sus caras. Sin embargo en este caso estamos haciendo algo diferente, ya que no estamos yuxtaponiendo las "laminas" unas con otras, sino que estamos fijando una lamina y colocamos otra con una diferencia angular infima (ambas en torno a un mismo eje). Sin embargo, se puede notar que esta diferencia angular minima genera que exista un volumen que no está ocupado por parte de una lamina entre laminas consecutivas, al apartarse lo suficiente del origen. Segun lo recien planteado, se deberia cumplir que $V> 2\pi A$.

Saludos

[furiouslogic]

Re: Volumen al rotar esta región

Hola, creo haber captado lo que propones. Si es así entonces creo notar un motivo por el que no es valido lo planteado:
En principio, me parece que el calculo expresado intenta expresar la idea de que la "lamina" del area se repite $2\pi$ veces en toda la revolución. La idea de una lamina de un espesor diferencial no me parece en sí tan alocado, siendo que con ellas se puede construir las ecuaciones para los ortoedros, a partir de las areas de sus caras. Sin embargo en este caso estamos haciendo algo diferente, ya que no estamos yuxtaponiendo las "laminas" unas con otras, sino que estamos fijando una lamina y colocamos otra con una diferencia angular infima (ambas en torno a un mismo eje). Sin embargo, se puede notar que esta diferencia angular minima genera que exista un volumen que no está ocupado por parte de una lamina entre laminas consecutivas, al apartarse lo suficiente del origen. Segun lo recien planteado, se deberia cumplir que $V> 2\pi A$.

Saludos

Excelente respuesta. La idea que siempre me venía a la mente era por qué el volumen propuesto no concordaba. Y a partir de tu explicación ahora lo entiendo:

$V_{p0}=2\pi A$
$V_{real}>V_{p0}$

El error conceptual matemático es que se está ignorando el volumen interlaminar (utilizando la misma idea de la lámina giratoria o trazas residuales).

Por cierto, ese volumen parcial propuesto me resulta muy interesante porque desde otro punto de vista lo que tenemos es el volumen no de un sólido "lleno", sino de una suerte de aspas de turbina unidas alrededor del eje de rotación en donde lo que le falta al volumen propuesto $V_{p0}=2\pi A=2\pi \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ comparado con el volumen real $V_{real}=2\pi \int_{a}^{b}xf(x)\mathrm{d}x$ es obviamente la presencia del factor $x$ de la integral.

Pero ahora surge la siguiente pregunta. Si en términos de producto el factor faltante al volumen propuesto $V_{p0}$ para completar el volumen real $V_{real}$ es $x$, ¿en términos de sumatoria cómo podríamos calcular el sumando $V_{p1}$ (volumen interlaminar) que le falta al volumen real de modo que se cumpla que $V_{real}=V_{p0}+V_{p1}$?

muchas gracias,

[furiouslogic]

Re: Volumen al rotar esta región

Pero es que estás equivocado en ambos casos. Nota que incluso estás siendo inconsistente desde el punto de vista dimensional, poniendo que un área es igual a una longitud o un volumen es igual a un área. En ambas expresiones te falta multiplicar cor el radio de giro del centroide de la curva o del área.

Saludos,

Al

Tienes razón. En la integral me equivoqué porque no es exactamente la misma que la de $L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f(x)']^2} \mathrm{d}x$, sino que le falta $f(x)$ como factor del integrando.

Hecha la corrección, reitero que el planteamiento es hecho por analogía del cálculo entre ambos:

Esto es: Un área es $2\pi$ veces la integral de 2 factores integrandos: el mismo integrando de la longitud multiplicado por la función analizada.

Y por analogía: Un volumen es $2\pi$ veces la integral de 2 factores integrandos: el mismo integrando del área multiplicado por la función analizada. Ese es el planteamiento.

[Al2000]

Re: Volumen al rotar esta región

Si haces girar un punto alrededor de una línea distante una distancia $r$ del punto, obtienes una línea de longitud $L = 2 \pi r \cdot 1$. Si giras una línea de longitud $L$ alrededor de otra línea paralela distante una distancia $r$, obtienes una superficie de área $A = 2 \pi r \cdot L$. Por último, si giras un rectángulo de área $A$ alrededor de una línea externa al rectángulo y distante una distancia $r$ del centro del rectángulo, obtienes un sólido de volumen $V = 2 \pi r \cdot A$. Para curvas o superficies no rectangulares siempre podemos descomponerlas en segmentos de recta o rectángulos según el caso y sumar las áreas/volúmenes obtenidos.

Saludos,

Al