1r ciclo Sobre los diferentes enfoques a la hora de integrar

[el monstruo del doctor frankenstein]

Las función más sencilla de integrar es una constante; y = k. Su integral sobre un intervalo [a, b] es simplemente el área k(b-a) del rectángulo bajo su gráfica.

A continuación, las más sencillas son funciones cuya gráfica está compuesta de varias funciones escalón. La integral de tales funciones es la suma de las áreas de los rectángulos bajo su gráfica.

Bueno, a lo que vamos, por lo que he leído, se supone que hay tres maneras de ir desde el problema simple de integrar funciones escalón al interesante problema de integrar funciones más generales:

(1) El método de exhaustión en el que idea básica es comparar la función que va a ser integrada con funciones escalón.

(2) El método de los límites en el que la idea básica es aproximar la función que va a ser integrada con funciones escalón

(3) El método de los infinitesimales en el que la idea básica es considerar función que va a ser integrada como una función escalón cuya gráfica está formada por infinitas funciones escalón, cada una de ellas infinitamente pequeñas

Cada uno de esos métodos presenta unas ventajas e inconvenientes. El método (1) es el más fácil de entender y formalizarlo rigurosamente, pero es muy incómodo en las aplicaciones. El método (2) es mucho mas eficiente para los cálculos pero la teoría es considerablemente más difícil de entender. El método (3) es con el que mayor rapidez se se solucionan muchos problemas pero la idea de "infinitamente pequeño" es difícil de entender y el método puede provocar resultados erróneos si no se usa con cuidado.

Me gustaría saber qué opinais de todo esto, qué método utilizáis vosotros, cuál os parece más ventajoso, ejemplos de cada método, etc, etc...

[arreldepi]

Re: Sobre los diferentes enfoques a la hora de integrar

A no ser que tengas que hacer un programa a ordenador, la integración analítica, que no es más que el paso al límite de las sumas de los rectángulos, fíjate que cuando tienes la suma de los rectángulos

$$\sum_{i=1}^n f(c)\Delta x$$

donde $f(c)$ es el valor en el que coinciden el máximo de la suma por defecto de los rectángulos y el ínfimo de la suma por exceso, y $\Delta x = x-x_0$. Si hacemos $n\to\infty$ y $\Delta x\to 0$, tenemos

$$\int f(x)\dd x$$

(2) es el paso al límite de (1). Si tuviésemos que calcular las integrales usando (1) nos moriríamos , por eso se usa el método (2) con sus métodos de integración (otra cosa es cuando no se saben resolver y hay que usar métodos numéricos o, como he dicho al principio, programas de ordenador que apliquen dichos métodos).

Saludos!

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: Sobre los diferentes enfoques a la hora de integrar

El método que tú bien has descrito (creo que te faltan los límites de integración en integral) es el método de las sumas de Riemann pero el método (1) es diferente. Creo que no me expresé bien. Consiste en acotar por arriba y por abajo el área con funciones escalón haciendo éstas cada vez más finas haciendo que lim (n-> infinito) {sucesión de funciones escalón que acotan por arriba - sucesión de funciones escalón que acotan por abajo} = 0

Por ejemplo, el método (1) es el que se utiliza en el Apostol, ¿no?. El método (2) el que se utiliza en, por ejemplo, el Serway

Pufff, ¡qué chapuza!. Mañana a ver si lo aclaro un poco, ¡QUÉ NO SON HORAS!.

[arreldepi]

Re: Sobre los diferentes enfoques a la hora de integrar

Acabo de echarle un vistazo al Apostol y tienes razón :P. La verdad es que nunca me había fijado en esa parte, yo siempre había visto la definición de integral a partir de las sumas de Riemann, que es bastante parecido a lo de las funciones escalonadas, creo.

Saludos!

[Metaleer]

Re: Sobre los diferentes enfoques a la hora de integrar

El asunto es que los métodos expuestos en el primer mensaje del hilo son los métodos para construir la integral de Riemann tal y como se maneja en Cálculo Infinitesimal (o Análisis (Matemático), como queráis llamarlo), y sirve para asentar unas bases rigurosas. Ahora bien, dada una primitiva de la función a integrar, la Regla de Barrow nos permite calcular una integral definida sin tener que recurrir a la definición cada vez.

El problema que se presenta en la práctica es que en muchas ocasiones, la función a integrar o tiene una primitiva de difícil obtención, o del tirón es imposible: no se puede en términos elementales. Aquí, en cuanto a la obtención de la integral definida, hay algunos caminos que se pueden seguir (estos son sólo algunos, habrán más):

1. Recurrir a los métodos numéricos, como trapecios, Simpson o cuadratura Gaussiana.
2. Recurrir a métodos y técnicas avanzadas, como las basadas en la Variable Compleja, el uso de transformadas integrales, diferenciación bajo el signo integral (integración de Feynman), etc...
3. Ver si la función a integrar es una función no elemental conocida y con valores tabulados, intentar obtener con un cierto grado de error, la integral definida.
4. Integrar término a término el correspondiente desarrollo en serie de Taylor (recordando que las series de potencia convergen uniformemente a su función de partida en cada intervalo cerrado de su intervalo básico de convergencia) y expresar la integral definida como series infinitas.
5. Aprovechar la simetría del integrando con el truco del cambio de variable. En concreto, me refiero a usar el siguiente resultado:

$\displaystyle \int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$

El problema de la búsqueda de una primitiva en términos de funciones elementales es bastante simpático. En primer lugar, uno tiene que preguntarse qué es eso de una función elemental, y apartir de ahí dar condiciones de cuándo una función admite primitiva elemental. Para un estudio bastante avanzado de este asunto, os recomiendo un artículo del profesor Carlos Ivorra: http://www.uv.es/ivorra/Libros/Primitivas.pdf

Aparte de esto, existe un método que es el algoritmo de Risch, que pasa el problema analítico de intentar obtener una primitiva elemental a un problema algebraico. Este algoritmo se implementa a veces en programas informáticos, calculadoras gráficas/programables, etc...

Saludos.