Secundaria Problema con límite indeterminado (L'Hôpital)

[angel relativamente]

Hola tengo un límite que me ha causado serios problemas
El límite es:

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\;\frac{3x^2+5x}{\sqrt{9x^4+2}+x^2}=\frac{3{\infty}^2+5\infty}{\sqrt{(9\infty)^4+2}+{\infty}^2}=\boxed{\frac{\infty}{\infty}}=\text{Ind.}$$

Para salver este límite, hay un método que dice que: si el grado mayor del numerador es igual al del denominador, dividimos los coeficientes principales. El mayor grado del numerador es 2, y el mayor grado del denominador es 2 (ya que el $9x^4$ está dentro de una raiz y equivale a $3x^2$. Por tanto, como los grados del numerador y del denominador son iguales, dividimos los coeficientes principales:

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\;\frac{3x^2+5x}{\sqrt{9x^4+2}+x^2}= \frac{3}{3+1}=\boxed{\frac{3}{4}}$$

El límite por tanto es $\boxed{\frac{3}{4}}$


Pero ahora vamos a intentar hacerlo por l'Hôpital. Según L'Hôpital tan solo tengo que hacer "derivada del numerador entre derivada del denominador, todas las veces necesarias hasta que se salve el límite".
Allá vamos:

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\;\frac{3x^2+5x}{\sqrt{9x^4+2}+x^2}=\frac{(3x^2+5x)'}{\left({\sqrt{9x^4+2}+x^2}\right)'}=\frac{6x+5}{\left({\sqrt{9x^4+2}}\right)'+2x}=$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Como sigue dando una indeterminación, volvemos a derivar numerador y denominador:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\displaystyle =\frac{6}{\left[{\left[{\left({\frac{1}{2}(9x^4+2)^{\frac{-1}{2}}}\right)'}\cdot (36x^3)\right]}+\left[{\left({\frac{1}{2} (9x^4+2)^{\frac{-1}{2}}}\right)\cdot (36x^3)'}\right]\right]+2}=$$

$$\displaystyle =\frac{6}{\left[{\left[{\left({\frac{-1}{4}(9x^4+2)^{\frac{-3}{2}}}\right)}\cdot (36x^3)^2\right]}+\left[{\left({\frac{1}{2} (9x^4+2)^{\frac{-1}{2}}}\right)\cdot 108x^2}\right]\right]+2}$$

¿Se produce una indeterminación el el propio denominador de $0 \cdot \infty$

¿o quizá estoy equivocado? ¿operé mal?

Gacias por sus respuestas.

Saludos!!

[Metaleer]

Re: Problema con límite indeterminado (L'Hôpital)

Hola, angel relativamente.

La primera derivada del denominador a mi me sale

$\displaystyle 2 x + \frac{18 x^3}{\sqrt{9 x^4+2}},$

y por tanto la segunda derivada es

$\displaystyle 2 -\frac{324 x^6}{\left(9 x^4+2\right)^{3/2}}+\frac{54 x^2}{\sqrt{9<br /> x^4+2}},$

y si agrupas los dos últimos términos, tienes que eso es lo mismo que

$\displaystyle \frac{54 \left(3 x^4+2\right) x^2}{\left(9 x^4+2\right)^{3/2}}+2,$

y aquí, en el límite $x \rightarrow \infty$, puedes hacer lo de siempre, fijarte en los términos de mayor grado, es decir,

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{54 \left(3 x^4+2\right) x^2}{\left(9 x^4+2\right)^{3/2}}+2 = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{162 x^6}{27 x^6} +2 = 6 +2 =8.$

Saludos.

PD: Una cosa, recuerda poner $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}$ en todos las igualdades salvo la última cuando ya tengas un número (ó infinito, o concluyes que no existe el límite).

[angel relativamente]

Re: Problema con límite indeterminado (L'Hôpital)

Muchísimas gracias metaleer, pero el límite no da 6 , mírate este vídeo , aquí te lo hacen de dos métodos diferentes, y en ambos da 3/4 , pero no lo hace mediante l'Hôpital

Saludos!

[Metaleer]

Re: Problema con límite indeterminado (L'Hôpital)

Tú tenías un problema con el denominador, y te he resuelto el límite del denominador, que por las prisas antes puse 6, pero lo he corregido y da 8 (el denominador, repito). Por tanto, el límite de todo al final es $6/8 = 3/4$.

Saludos.

[Cara cruzada]

Re: Problema con límite indeterminado (L'Hôpital)

Te vas a hacer un hacha en las derivadas, angel... ya sufrirás con integrales, si no lo has hecho ya

[angel relativamente]

Re: Problema con límite indeterminado (L'Hôpital)

Te vas a hacer un hacha en las derivadas, angel... ya sufrirás con integrales, si no lo has hecho ya

Estoy aún terminando de dominar esto de las derivadas... pero en unas semanas me meto con las integrales

[Cara cruzada]

Re: Problema con límite indeterminado (L'Hôpital)

Estoy aún terminando de dominar esto de las derivadas... pero en unas semanas me meto con las integrales

Pfff, tenía entendido que acababas de terminar 4º de ESO. Si es así, las integrales no las vas a ver hasta dentro de dos años... eres un campeón para tener la paciencia de vértelas con ellas en verano, pero te va a ser muy útil. y si estás con la fiebre matemática, te recomiendo que busques "Como entender y hacer demostraciones en matemáticas" de Daniel Solow. te enseña a nivel "usuario" muchas técnicas de demostración, y aunque no las pilles todas tiene tantos ejercicios que te hace coger mucha soltura tanto leyendo como escribiendo demostraciones y con las mates en general.

Un saludete

[angel relativamente]

Re: Problema con límite indeterminado (L'Hôpital)

Pfff, tenía entendido que acababas de terminar 4º de ESO. Si es así, las integrales no las vas a ver hasta dentro de dos años... eres un campeón para tener la paciencia de vértelas con ellas en verano, pero te va a ser muy útil.

Yo esperaría dos años pero la paciencia tiene sus límites (nunca mejor dicho)

y si estás con la fiebre matemática, te recomiendo que busques "Como entender y hacer demostraciones en matemáticas" de Daniel Solow. te enseña a nivel "usuario" muchas técnicas de demostración, y aunque no las pilles todas tiene tantos ejercicios que te hace coger mucha soltura tanto leyendo como escribiendo demostraciones y con las mates en general.

Muchas gracias

Saludetes!!