1r ciclo Funcion definida a trozos, en dos variables

[[Beto]]

Hola, tengo un problema con el siguiente ejercicio, para la siguiente función:

$$f(x,y)=\left\{<br /> \begin{aligned}<br /> \dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2}&; ~(x,y)\neq(0,0)\\<br /> a&;~(x,y)=(0,0)<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

1. Me piden determinar el valor de $a$, de modo que la función sea continua, y para que esto suceda el límite de la función cuando tienda a $(0,0)$, tiene que ser $a$, para calcular ese límite lo que hago es $y=x$, pues al acercarme por cualquier función al punto en donde se toma el límite, este siempre tiene que ser el mismo para que exista, de ese modo obtengo que $a=0$ para que la función sea continua. ¿Está bien hacerlo así o se puede hacer de una forma más rigurosa?

2. Además piden el valor de $\dfrac{\partial f}{\partial x}$, en el punto (0,0) ... esta parte no la tengo muy clara, pero me parece que tengo que derivar a la función normalmente respecto a la variable indicada y luego tomar límite para cuando tienda a (0,0), ya que al ser continua ese límite de la derivada tendrá que ser igual a la derivada en el punto señalado.

¿Algún comentario? ... ¿esta bien o lo tengo que resolver de una forma diferente?

[Metaleer]

Re: Funcion definida a trozos, en dos variables

Hola, [Beto].

1. No es correcto acercarte por una sola recta para calcular el límite. Lo que sí puedes hacer es realizar un cambio a coordenadas polares, $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, y luego se intenta tomar el límite cuando $r \rightarrow 0.$ Veamos qué pasa:

$\displaystyle \lim_{r \rightarrow 0} \frac{(r \cos \theta)^4 + (r \sin \theta)^4}{r^2} = \\ \lim_{r \rightarrow 0} r^2 \cos ^4 \theta + r^2 \sin ^4 \theta = \\ \lim_{r \rightarrow 0} r^2 (\cos ^4 \theta + \sin ^4 \theta) = 0$

para todo valor del ángulo polar, y por tanto el límite es 0. De esta manera, si defines $a = 0$, habrás extendido con continuidad la función al origen.

2. No es correcto ese procedimiento. Lo que has de hacer es obtener el valor recurriendo a la definición de derivada parcial. Lo que tú propones es calcular el límite de la derivada parcial para ver si hay continuidad de ésta, por ejemplo. De esta manera, tienes que calcular el siguiente límite:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{0}{h} = 0,$

ya que $f(0, 0) = a= 0$ por el apartado anterior.

Puede ocurrir que el valor de la derivada parcial en un punto no coincida con el límite de la derivada parcial cuando se acerca uno a ese punto. Esto es el motivo por el que uno puede hablar de funciones diferenciables, pero no diferenciables con continuidad.

Saludos.

[arreldepi]

Re: Funcion definida a trozos, en dos variables

Hola, diría que está bien, si quieres hacerlo más formal puedes comprobar que el límite cuando f(x,y) tiende a (0,0) es 0 aplicando la definición de continuidad:

$$\forall \epsilon > 0\;\exists\; \delta = \delta(\epsilon)>0 \;|\; \;\text{si} \;\;0<|\vec x -\vec x_0|<\delta \;\Rightarrow\; |f(\vec x)-f(\vec x_0)|<\epsilon$$

donde $f(\vec x_0) = 0 \quad \text y\quad \vec x_0 = \vec 0$, aunque no veo del todo cómo solucionar los $x^4+y^4$ para llegar a algo parecido a $f(x^2 + y^2)$.

Luego, aunque la función sea contínua en ese punto, tienes que aplicar la definición de derivada, creo, pero no estoy del todo seguro.

[[Beto]]

Re: Funcion definida a trozos, en dos variables

Gracias, por la ayuda ... ya comprendí la idea

Pero ¿Y si escribiera la recta en forma general para el apartado 1?

[alespa07]

Re: Funcion definida a trozos, en dos variables

Wenas.

En el primer apartado, estas ya suponiendo que existe el límite en 0 lo que, a priori, no tiene porque ser ciero. El propósito de esta pregunta es el demostrar que la función tiene límite en 0 y, a partir de ahí, hallar su valor e identificar con el valor de $a$. El coger una parametrización de y en función de x nunca sirve para demostrar que una función tiene límite en un punto (en varias variables obviamente) ya que no estás considerando todas las maneras posibles de acercarte a este punto (este método solo sirve para demostrar lo contrario, es decir que con dos parametrizaciones distintas llegas a dos valores distintos con lo que el límite no existe) y, para que el límite exista, debe ser el mismo para todas las formas posibles de acercarse. Lo que te aconsejo, en este caso, es pasar a polares ya que pasas de calcular un límite en dos variables a tener un límite en una variable ($r\to 0$) y ver si dicho límite depende de $\theta$ con lo que no existe o si, al contrario, no depende de $\theta$ y por lo tanto existe ya que no depende de la manera de acercarse al punto. En tu caso, queda sencillamente :

$\displaystyle\lim_{\rho\to 0}\rho^2(\cos^4\theta+\sin^4\theta)=0$

Con lo que el límite existe y vale cero.

Para el segundo apartado solo tienes que usar la definición de derivada parcial como límite.

Saludos.

He sido tan lento para escribir que ya te han contestado bastante así que perdonad jejeje.

[[Beto]]

Re: Funcion definida a trozos, en dos variables

He sido tan lento para escribir que ya te han contestado bastante así que perdonad jejeje.

pero tu mensaje me aclaro una duda que me quedaba ...

... la única forma de acercarse no es por rectas ... no se porque lo pensé así ...

Gracias por la ayuda

[Metaleer]

Re: Funcion definida a trozos, en dos variables

Realmente, si te acercas por todas las rectas posibles al origen, es decir, por rectas de la forma $y = mx$, eso es equivalente a usar coordenadas polares pero fijando el ángulo. En todo rigor, el límite por coordenadas polares se podría hacer de la siguiente manera:

$\displaystyle \lim_{r \rightarrow 0} \frac{(r \cos \theta)^4 + (r \sin \theta)^4}{r^2} = \\ \lim_{r \rightarrow 0} r^2 \cos ^4 \theta + r^2 \sin ^4 \theta = \\ \lim_{r \rightarrow 0} r^2 (\cos ^4 \theta + \sin ^4 \theta).$

Ahora bien, $r^2 \rightarrow 0$, y $\cos ^4 \theta + \sin ^4 \theta$ está acotada, y por la regla del "Sandwich", concluimos que el límite vale 0.

Considera por ejemplo la función

$g(x,y)=\left\{<br /> \begin{aligned}<br /> \dfrac{2 y x^2}{x^4+y^2}&; ~(x,y)\neq(0,0)\\<br /> 0&;~(x,y)=(0,0)<br /> \end{aligned}\right.$

y nos preguntan si se tiene la continuidad de esta función en el origen. Si usamos coordenadas polares, tenemos lo siguiente:

$\displaystyle \lim_{r \rightarrow 0}\frac{2 r^3 \sin \theta \cos^2 \theta}{r^2 (r^2 \cos ^4 \theta + \sin ^2 \theta)} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{2 r \sin \theta \cos^2 \theta}{r^2 \cos ^4 \theta + \sin ^2 \theta} = \frac{0}{\sin ^2 \theta} = 0,$

así que uno a priori puede pensar que el límite es y la función es continua. Y ahora se me ocurre acercarme por una parábola que pasa por el origen, $y = x^2$:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 x^4}{x^4 + x^4} = 1.$ !¡

¿Pero qué es lo que ha pasado? ¿Por qué da $1$ acercándote por una parábola, y , aparentemente, por polares?

El problema es que al calcular el límite por coordenadas polares hemos fijado el ángulo, y esto no se debe hacer nunca; es que $\sin ^2 \theta$ puede anularse, y ahí es donde tenemos el problema: el límite no existe, y no se tiene la continuidad del campo escalar.

Por eso hay que tener mucho cuidado cuando uno usa polares; en nuestro ejemplo no hemos tenido problemas del estilo porque no quedaba nada en el denominador que podría anularse según valores distintos del ángulo polar.

Saludos.

[Dj_jara]

Re: Funcion definida a trozos, en dos variables

El problema es que al calcular el límite por coordenadas polares hemos fijado el ángulo, y esto no se debe hacer nunca;

Es bueno saberlo*


*Es bueno saber que ya lo tienes claro xDDD