Secundaria Cambio de variable

[Gluon]

Hola, estoy aprendiendo a calcular integrales, y he llegado a un punto en el que tengo que resolverlas mediante un cambio de variable, sin embargo, he estado buscando en Google como hacerlo o alguna pagina donde enseñasen pero solo encuentro paginas de ejercicios resueltos y alguna pagina en la que lo explican pero esta incompleto. Si alguien supiese alguna pagina en donde se explicase bien o tuviese un archivo en el que sea explicado le agradeceria que me lo dejase en este hilo.
Gracias de antemano a cualquier tipo de ayuda.

[idontknow]

Re: Cambio de variable

Has de encontrar una relación que te permita resolverla de una manera no siempre directa pero sí más fácil. Esta relación o bien te la dan en un ejercicio o bien te la inventas tú.

Cuando tengas la relación, simplemente has de derivar a izquierda y derecha y entonces sustituyes el diferencial de la variable antigua por lo que te de en esa relación y también cambias las variables que querías. Resuelves la integral y una vez resuelta vuelves a cambiar el cambio. Ej:

1º Encuentras el cambio y derivas izquierda y derecha:

$\int x^3 {d}x = \, \left\{\begin{aligned}t=x^2\\{d}t=2x{d}x\end{aligned}\right\}$

2º Sustituyes el diferencial de la integral

$\int x^3 \frac {{d}t}{2x}$

y haces el cambio que querías una vez hayas limpiado:

$\int x^3 \frac {{d}t}{2x} = \int \frac {x^2 {d}t}{2} = \int \frac {t {d}t}{2}$

3º Integras:

$\int \frac {t {d}t}{2}= \frac {t^2}{4}$

4º Deshaces el cambio de variable:

$\frac {t^2}{4} = \frac {x^4}{4}$

[GNzcuber]

Re: Cambio de variable

Hola Gluón,

En el documento que había en el enlace que te dejé, explican cómo se resuelven. Te puedo recomendar un libro que se llama "Cálculo integral" de la editorial ANAYA, explican cómo se hacen y te dan ejemplos. Es un libro corto que te deja con ganas realmente, pero para tener más nociones está bien.

Si pusieses cuáles son las que no puedes integrar también te podríamos ayudar explicándote qué hacemos. Además que no sé exactamente en qué te estancas, si en buscar una función adecuada para el cambio de variable, o (no excluyente) en el momento de hacer un cambio de variable las consideraciones a tener en cuenta. Que estas te he mostrado un poco en un mensaje anterior.

Si tienes problemas con la primera, lo que necesitas es hacer más integrales, que puedas hacer inmediatamente, así con la práctica al ver una integral sabrás o pensarás en una integral parecida que sepas hacer y luego buscas un cambio de variable adecuado.

Si el problema es con lo segundo, también se coge con la práctica, pero siempre necesitarás, a lo sumo, cinco cosillas:

- El cambio de variable que quieras hacer: $\dst f(x)=g(t)$, ejemplo: $\dst x^3=t^2\Rightarrow t=\sqrt{x^3}$
- Su inversa, ésto es necesario porque después de resolver la integral deberás volver a pasarlos en la variable original: $\dst x=(f^{-1}\circ g)(t)$, ejemplo: $\dst x= \sqrt[3]{t^2}$
- Sus diferenciales, para saber la relación de cómo varía uno al variar el otro (mecánicamente son sus derivadas): $\dst f'(x){d}x=g'(t){d}t$, ejemplo: $\dst 3x^2{d}x=2t{d}t\Rightarrow {d}x=\frac{2{d}t}{3\sqrt[3]{t}}\quad (\bold{1})$
- La inversa del cambio, esta no siempre es necesaria, pero a veces simplifica cálculos, eso lo verás con la práctica: $\dst g'(t){d}t=f'(x){d}x$, ejemplo: $\dst 2t{d}t=3x^2{d}x\Rightarrow {d}t=\frac{3x^2{d}x}{2\sqrt{x^3}}$
- Por último, cuando sea necesario, cambiar los límites de integración, eso cuando tienes integrales definidas: $\dst x=a\rightarrow t_a=(g^{-1}\circ f)(a)$, ejemplo: $\dst x=2\rightarrow t=\sqrt{2^3}=2\sqrt{2}$

¡Saludos!
-

[Gluon]

Re: Cambio de variable

Pero no seria mas facil cambiar x al cubo por t en vez de x al cuadrado por t?

[idontknow]

Re: Cambio de variable

El cambio que hagas da igual. Todos son válidos mientras no la cagues en el cálculo pero evidentemente no todos son tan fáciles de resolver y de lo que se trata es de resolverlo con mucha menos dificultad. De hecho, el cambio que propones te lo había propuesto yo pero al ir haciéndolo me di cuenta que se liaba más y que lo que quería conseguir lo tenía que hacer con ese cambio. Si haces lo que dices tú acabarás teniendo:

$\int x^3 \frac {{d}t}{3x^2}= \int \frac {x {d}t}{3} = \int \frac {t^{1/3} {d}t}{3}$

[GNzcuber]

Re: Cambio de variable

Pero no seria mas facil cambiar x al cubo por t en vez de x al cuadrado por t?

Quería mostrarte que no necesariamente se sustituye por una variable, sinó que puede ser por una función en otra variable. Más adelante verás en las funciones irracionales que tendrás que hacer cambios trigonométricos para pasarlos a racionales y hay varios métodos con los cuales puedes resolver estas últimas, es más, si tienes un integrando bastante difícil y logras llevarlo a una función racional, está asegurada su integral.

El ejemplo que te he hecho realmente simplica mucho si la función que tienes para integrar es:

$$\dst \int \frac{x^2{d}x}{\sqrt{x^3}+x^3}=\frac 2 3 \int \frac{t{d}t}{t+t^2}=\frac 2 3 \int \frac{{d}t}{1+t}=2\ln \left(\sqrt[3]{1+t}\right)+C$$

¡Saludos!

[Gluon]

Re: Cambio de variable

Gracias de nuevo GNzcuber estoy practicando el cambio de variable y con los pasos que me diste cada vez me es mas facil.