1r ciclo definicion formal de limite

[panda]

hola tengo un problema muy grande para la definicion formal del limite pues quiero hacer unos ejercicion q no me dan ni epsilon ni delta y el caso es q hago de una manera hago de otra pero no me salen .. y hay veces q tengo que darle valores al delta pero no me sale yal es el caso de
lim 1.(\sqrt{x+7})=1/3 cn x-->2
ya el momento q saco
cn \epsilon me sale |x-2|< 8\epsilon +2 por lo tanto \delta < 8\epsilon+2
y si hago por el \delta
1/ (\sqrt{8,9}-3)\delta< \epsilon
y otra caso el \delta es necesariamente menor o igual al \epsilon o no??
porq yo tenia entendido eso pero al parecer segun esto no...

[Arri]

Re: definicion formal de limite

Una cosilla:

Te recomiendo que uses las etiquetas de para escribir las fórmulas. Ya sabes [ TEX][ /TEX]. Lo digo porque queda un poco revuelto tal y como lo has puesto.

¡Un saludo!

[arreldepi]

Re: definicion formal de limite

Hola, si tienes que

$$\lim_{x\to 2}\frac{1}{\sqrt{x+7}}=\frac 13$$

significa que

$$\forall\;\; \varepsilon>0\;\;\exists \;\delta >0\;\;|\;\; \text{si} \;\; 0<|x-2|<\delta \;\;\Rightarrow \;\; \left|\frac{1}{\sqrt{x+7}}-\frac 13\right|<\varepsilon$$

Mm... yo lo que haría (no sé si es del todo correcto) es:

Sabemos que tenemos que llegar a una expresión tal que

$$\delta = \delta(\varepsilon),$$

es decir

$$x-2 = f(\varepsilon).$$

Entonces, partiendo de que lo que queremos es

$$\left|\frac{1}{\sqrt{x+7}}-\frac 13\right|<\varepsilon,$$

vamos a ir haciendo una serie de modificaciones:

$$\left|\frac{1}{\sqrt{x+7}}-\frac 13\right|<\varepsilon \Rightarrow \left|\frac{2}{\sqrt{x+7}}\right|<\varepsilon\Rightarrow \left|\frac{4}{{x+7}}\right|<\varepsilon^2 \Rightarrow \left|\frac{{x+7}}{4}\right|<\varepsilon^2 \Rightarrow \left|x+7\right|<\frac{4}{\varepsilon^2}$$

y, por último,

$$x+2<\frac{4}{\varepsilon^2}-5$$

es decir, se cumple haciendo

$$\delta = \frac{4}{\varepsilon^2}-5$$

Creo que esta es la forma de hacerlo, seguramente, haciendo simplificaciones a expresiones que sigan cumpliendo la desigualdad, puedes llegar a una expresión más bonita

Saludos!

[Jose D. Escobedo]

Re: definicion formal de limite

arreldepi, hasta (3) estamos de acuerdo.

primero busquemos un segmento para el cual sea valido $\dst \Rightarrow |x-2|<1$ ...(1), digamos que x es elemento de ese segmento $\Rightarrow 1< x <3$...(2).

Por otro lado sabemos que: $\dst \left | \frac{1}{\sqrt{x+7}} - \frac{1}{3} \right| \leqslant \left | \frac{3 - \sqrt{x+7}}{3 \sqrt{x+7}} \right | \leqslant \left | \frac{(3-\sqrt{x+7})(3+\sqrt{x+7})}{(3 \sqrt{x+7})(3 +\sqrt{x+7})} \right| \leqslant \left | \frac{2-x}{9\sqrt{x+7} + 3 (x+7)} \right|\leqslant ...$..(3)

$\dst \frac{|x-2|}{M'} < \epsilon$ ...(3') de donde M se va encontrar en funcion de (2)


$8< x+7 < 10 \Rightarrow 24 < 3(x+7) < 30$...(4)

$8< x+7 < 10 \Rightarrow \sqrt{8} < \sqrt{x+7} < \sqrt{10} \Rightarrow$

$9\sqrt{8}<9\sqrt{x+7}< 9\sqrt{10}$ ....(5)

sumando (4) y (5) $\Rightarrow$

$24 + 9\sqrt{ 8} < 3(x+7) + 9\sqrt{x+7} < 30 + 9\sqrt{10}$

asi que M esta acotada por $49.4558...<M<58.46..\Rightarrow M' \leqslant 24 +9 \sqrt{8} .$

entonces de (1) y (3') $\delta = min\left\{1,M'\epsilon \right\}$