1r ciclo encontrar funcion parábola cúbica

[Julián]

Tengo que hacer los siguientes ejercicios pero la verdad que no los he podido hacer. Si alguien me puede dar una mano

1) Determinar la ecuación de la parabola cúbica cuya gráfica pasa por los tres puntos y es tangente al eje x en P1
2) Aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [x1,x2] y encontrar el valor de x=c que lo verifica.
3) calcular la ecuación de la recta tangente a y=f(x) en el punto P2 y en el punto C[c;f(c)]


P1(x1,y2) = (3,0)
P2(x2,y2) = (13,0)
P3(x3,y3) = (0, 31)

[Al2000]

Re: encontrar funcion parábola cúbica

Te puedo dar una mano con 1) y 3). El teorema de Rolle no lo conozco.

Para hallar la cúbica puedes partir de la ecuación general de la cúbica

$$y = A x^3 + B x^2 + C x + D$$

y obtener tres ecuaciones sustituyendo las coordenadas de los puntos P1, P2 y P3. La cuarta ecuación la obtienes de la derivada

$$y' = 3 A x^2 + 2 B x + C$$

con la condición de que esta derivada debe valer cero para $x_1$. Los resultados que calculé son: A = -0.264957, B = 5.034188, C = -23.051282 y D = 31.000000.

En la pregunta 3 no me queda claro si se refieren al mismo punto P2 ni si la función f(x) es conocida. En todo caso puedes partir de la ecuación punto-pendiente de la línea recta

$$\frac {y-y_1} {x-x_1} = m \quad \text {o bien} \quad y = y_1 + m \, (x -x_1)$$

y aplicar las condiciones que te dan. Si la recta debe pasar por P2 y ser tangente a f(x) entonces tendrías

$$y = y_2 + f'_{(x_2)}\,(x-x_2)$$

y si la recta debe pasar por [c,f(c)] entonces

$$y = f_{(c)} + f'_{(c)}\,(x-c)$$

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: encontrar funcion parábola cúbica

Ya tuve chance de buscar el teorema de Rolle en la Wikipedia. Yo no lo estudié con ese nombre (o no lo recuerdo) sino como parte del teorema del valor medio.

Bueno, dado que la función es continua y derivable y bla bla bla, y vale cero tanto en $x_1$ como en $x_2$, entonces en algún punto del intervalo su derivada debe tener un cero. Entonces se trata de resolver

$$y' = 0$$

y verificar que tiene una solución en el intervalo $[x_1,x_2]$:

$$y' = 3 A x^2 + 2 B x + C = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac {-B \pm \sqrt {B^2 - 3 A C}}{3 A}$$

Al sustituir los valores de los coeficientes A, B y C se obtienen los dos valores $\dst x = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> 3.000000 \\<br /> 9.666667 <br /> \end{aligned}\right .<br />$. El primer valor corresponde al punto P1 en donde, por condición del problema, el polinomio debe ser tangente a $x$. El segundo valor, que claramente está comprendido en el intervalo $[x_1,x_2]$ es el valor buscado.

Saludos,

Al