1r ciclo derivada segunda de

[Julián]

Alguien me puede ayudar a obtener la derivada segunda de:


siendo abs las barras del balor absoluto.

y calcular las raices de dicha derivada segunda f''(x)=0.

yo realizo el calculo por mathematica 5 pero obtendo numeros complejos al calcular la raiz de la derivada segunda.

saludos

[GNzcuber]

Re: derivada segunda de

Hola julian403,

¿Lo has intentado manualmente? Inténtalo de esta manera:

$$\dst f(x)=\left|\frac{(x^2-9)(x^2-25)}{30(x^2-1)(x^2-4)}\right|=\frac{1}{30}\sqrt{\left(\frac{x^4-34x^2+225}{x^4-5x^2+4}\right)^2}$$

La primera derivada no te la puedo poner porque no me cabe y ya la he borrado. Debes aplicar varias reglas, primero la de la cadena dos veces, una para la raíz y otra para la potencia, que se hacen que el producto de sus coeficientes sea nulo, y por tanto no se ve afectado el 1/30.
Una vez hecho esto, deberás aplicar la regla del cociente que quedará multiplicando todo, desgraciadamente no puedes sacar factor común para anular el cuadrado del denominador.

Yo te recomendaría que al derivar la expresión de la raíz inviertas el numerador y denominador para no tener potencias negativas o fracciones, en principio, absurdas.

Aunque sé que es un paso matemático legítimo, no estoy tan seguro de su validez aquí porque gracias a ello puedo evitarme siempre que una derivada sea "negativa" (depende obviamente del punto donde se analice).
Por ejemplo:

$$\dst f(x)=\sqrt{\frac{2x+1}{3x}}$$

$$\dst f'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3x}{2x+1}}\left(-\frac{1}{9x^2}\right)$$

¡Saludos!

[Al2000]

Re: derivada segunda de

Alguien me puede ayudar a obtener la derivada segunda de:

[ATTACH=CONFIG]2714[/ATTACH]
siendo abs las barras del balor absoluto.

y calcular las raices de dicha derivada segunda f''(x)=0.
...

Yo lo intenté con mi software tratando de mantener la estructura de factores, pero resulta muy engorroso. Con un par de intentos llegué a la conclusión de que la manera mas fácil de manejar el problema es un enfoque intermedio entre el mío y el de GNzcuber.

De la observación de las raices de cada factor en la expresión original puedes concluir que la puedes escribir de la forma equivalente

$$f(x) = <br /> \left \{\begin{matrix}<br /> \dst - \frac 1 {30}\,\frac{x^4-34x^2+225}{x^4-5x^2+4} & , \text { si } |x| \in (1,2) \cup (3,5) \\<br /> \\<br /> \dst \frac 1 {30}\,\frac{x^4-34x^2+225}{x^4-5x^2+4} & , \text { si } |x| \notin (1,2) \cup (3,5) <br /> \end{matrix}\right .<br />$$

y trabajar con la función definida en segmentos. Nota que la función es discontinua en los puntos $x = \pm 1$ y $x = \pm 2$ y que el valor absoluto va a introducir discontinuidades en la primera derivada en los puntos $x = \pm 3$ y $x = \pm 5$. Nota también que la derivada es la misma para cada expresión, cambiando sólo el signo. Al derivar dos veces obtendrás la expresión

$$f''(x) = <br /> \left \{\begin{matrix}<br /> \dst \frac 1 {15}\,\frac{87x^8-2065x^6+8553x^4-9531x^2-3956}{(x^4-5x^2+4)^3} & , \text { si } |x| \in (1,2) \cup (3,5) \\<br /> \\<br /> \dst - \frac 1 {15}\,\frac{87x^8-2065x^6+8553x^4-9531x^2-3956}{(x^4-5x^2+4)^3} & , \text { si } |x| \notin (1,2) \cup (3,5) <br /> \end{matrix}\right .<br />$$

y ya lo que te queda es "solamente" hallar las raíces del polinomio en el numerador. Si no he metido la pata en algún lugar, sólo existen dos raices reales, $x = \pm 4.3394$.

No te confíes de los valores que transcribí, que yo tengo una gran propensión a equivocarme.

Saludos,

Al