1r ciclo Algo falla en esta demostracion sobre limites.

[Jose_120]

Hola, vereis llevo toda la mañana tratando de comprender el ultimo paso de la siguiente demostracion:



Como vereis todo se entiende bien, pero cuando llegamos al ultimo paso vemos que no para todo se cumple la demostracion, por ejemplo si yo cambio L=-4, y f(x)=2, pasa esto lo cual es absurdo pues seria y la demostracion no seria valida para todo , alguien sabe que se me esta escapado??, porque yo ya no se por donde cogerlo.

El video en el que sale esta demostracion lo podeis ver en este enlace, a partir del minuto 9:30:

http://www.matematicasbachiller.com/...2/di02_16.html

[Al2000]

Re: Algo falla en esta demostracion sobre limites.

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Como vereis todo se entiende bien, pero cuando llegamos al ultimo paso vemos que no para todo se cumple la demostracion, por ejemplo si yo cambio L=-4, y f(x)=2, pasa esto lo cual es absurdo pues seria y la demostracion no seria valida para todo , alguien sabe que se me esta escapado??, porque yo ya no se por donde cogerlo.
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Es que no hay por donde cogerlo. En la demostración hacen un paso

$$|L| - \epsilon < |f(x)| \quad \Rightarrow \quad \frac 1 {|L| - \epsilon} > \frac 1 {|f(x)|}$$

que no es siempre cierto. Si $a > b$ entonces $\dst \frac 1 a < \frac 1 b$ será cierta solo si $a$ y $b$ tienen el mismo signo.

Saludos,

Al

[Jose_120]

Re: Algo falla en esta demostracion sobre limites.

Gracias por responder AL2000, menos mal que por lo menos hay otra persona que no ve bien esa demostracion, porque ya me estaba calentando demasiado el coco. Lo que no me entraba es que siendo un video que lleva la tira puesto en esa pagina, si hubiera algun error, no lo hubieran corregido ya y por tanto yo seguia dandole al coco haber donde tropezaba, pero nada siempre llegaba a la misma conclusion.

En fin gracias de nuevo y un saludo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Algo falla en esta demostracion sobre limites.

Pues empieza de nuevo a calentar el coco , porque el que esta mal eres tu Jose_120, primero porque tal vez no sabes lo que significa $L$ y $\dst \varepsilon$ uno es el limite de la funcion y el otro es considerado entre muchas ideas como el error y un error deve ser tan pequeño como quiera. Es decir que $\dst 0\leqslant \varepsilon \leqslant 1$ y el error puede ser tan pequeño como una milesima $\varepsilon = .001=10^{-3}$ o una millonesima $\varepsilon =10^{-6}$ o mas si se requiere.

Hablando en particular de tu ejemplo si dices que $f(x) = 2$, $\forall x$ en Reales entonces estas hablando de la funcion constante que vale $2$ con lo cual el limite es $2$ y no $-4$ como tu quieres, lo que probaste es que $-4$ no es limite de la funcion $f(x) =2$. Ademas, si se aplica parcialmentemente (es decir solamente una fraccion de la definicion) la definicion limite para tu ejemplo en particular $|2- 2| < 7$ lo cual se cumple perfectamente. Si crees que no es suficiente vuelve a escribir para que veas que no puedes poner los numeros que tu quieras.

Saludos
Jose

[carmelo]

Re: Algo falla en esta demostracion sobre limites.

Hola:
La demostración es correcta, quizas no sea muy prolija. El paso que cuestionas Al no es un problema en este caso. Si tenemos en mente la definición de límite, que dice:
Si $\dst\lim_{x \to c}{f(x)}=L$ entonces dado $\epsilon>0$ $\exists$ $\delta>0$ tal que si se cumple $|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$.

Dicho esto, lo importante es que $\epsilon$ es un número arbitrario y positivo, el cual podemos tomar $\epsilon<|L|$ dado que $L\neq 0$

Saludos
Carmelo

[Jose_120]

Re: Algo falla en esta demostracion sobre limites.

Bueno le he estado dando vueltas a lo que dice Jose y Carmelo y creo que al fin lo he comprendido y es cierto la demostracion esta bien, pero una cosa es cierta, no se puede coger cualquier $\epsilon >0$ tiene que ser menor que L, pues si cogieramos un $\epsilon$ >0 lo suficientemente grande, en segun que funciones seria imposible determinar un $\delta$>0, como por ejemplo en esta funcion, $f(x)=x$ en la que el $\dst\lim_{x \to 3}{f(x)}=3$ aqui vemos que $\forall \epsilon >0$ se puede encontrar un $\delta >0$ y se cumple que $\left\vert{L} \right\vert{}-\epsilon<f(x)<\left\vert{L} \right\vert{}$, pero en la funcion $1/f$, osea en $f(x)=1/x$, que es lo que se quiere demostrar en mi primer mensaje, no se cumple que $\forall \epsilon>0$ $\exists \delta>0$ lo que no quiere decir que no exista un $\epsilon >0$ tal que cumpla se $\frac{1}{\left\vert{L} \right\vert{} -\epsilon } > \frac{1}{f(x)} > \frac{1}{\left\vert{L} \right\vert{} - \epsilon}$ , pero tal $\epsilon$ debe ser menor que $L$

En fin yo creo que lo he entendido pero ya con lo que me he calentado el "coco" hoy , ya no se ni lo que hago jejeje, pero bueno, de todas formas, muchas gracias a todos por responder.

Ah, y si he dicho muchas barbaridades os agradeceria que me corrigierais ya que he empezado hace no mucho con esto del calculo diferencial y todavia no tengo muy claras algunas cosas, es decir entiendo bien el concepto de limite, pero luego con las definiciones formales me hago un poco de cacao.

Saludos