1r ciclo problema de diferenciabilidad

[MIMOSA]

hola, espero me puedan ayudar con el siguiente problema.
sea f(z)=x${y}^{2 }$ + i ${x}^{ 2}$y. encuentre el dominio donde f es diferenciable. (esta función de complejos en complejos). he tratado con la defincion del limite pero no me sale. gracias por su ayuda¡¡¡¡¡ y su herrrmoso tiempo¡¡¡

[Metaleer]

Re: problema de diferenciabilidad

Un poco de teoría:

Sea $f = u(x, y) + iv(x, y)$ definida en un entorno alrededor de $z_0$. Si $u_x$, $u_y$, $v_x$, y $v_y$ son continuas en ese entorno y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces $f'(z_0)$ existe, es decir, $f(z)$ será diferenciable en $z = z_0$.

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son

$${ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y },$$

$${ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x }.$$

En nuestro caso, $u(x, y) = xy^2$, $v(x, y) = x^2y$. La primera ecuación nos lleva a

$$y^2 = x^2$$

y la segunda a

$$xy = - xy$$

La segunda ecuación sólo se cumple si $x = 0$ ó si $y = 0$, pero la primera ecuación impone la restricción que $y^2 = x^2$, lo que quiere decir que $x = y = 0$. Tomando $z_0 = 0 + 0 i$ y viendo que se cumplen las hipótesis del teorema que se ha puesto al principio, se llega a la conclusión de que $f(z)$ es diferenciable sólo en el origen, y no existe ningún dominio (conjunto abierto y conexo) donde la función es diferenciable, ya que un solo punto no es un dominio.

Saludos.

[MIMOSA]

Re: problema de diferenciabilidad

ooooo¡¡¡¡, sabes un compñaero me comento que los z=x-ix y -x+ix cumplen, y segun yo solo era en cero y ya me metió la duda enorme¡¡¡¡ y es mejor preguntar que quedarse con las dudas¡¡¡, otra pregunta también me preguntan el dominio donde las ecuaciones cauchy rieman se cumplan también verdad es cero, ya que alli es donde encontramos la anterior y pues obvio que son continuas en cero y por eso salio diferenciable en ese punto. y es analitica en cero y tatan¡¡¡ jeje ay¡¡¡ gracias por responder ¡¡¡¡te agradezco mucho¡¡¡¡¡

pd: te gusta iron maiden?? verdad que es genial¡¡¡ uu maiden rules¡¡¡¡ la verdad tocan excelente y sus conciertos son una locura, y al igual que sus canciones the wickerman, diferent world, dance of death ooo no hay miles de canciones buenas jeje judas prest la verdad no lo e escuchado mucho, tambien es muy bueno scorpions uuu¡¡¡ ups¡¡ creo que ya exagere jeje bueno adios y gracias y gracias¡¡¡¡¡

[Metaleer]

Re: problema de diferenciabilidad

ooooo¡¡¡¡, sabes un compñaero me comento que los z=x-ix y -x+ix cumplen, y segun yo solo era en cero y ya me metió la duda enorme¡¡¡¡ y es mejor preguntar que quedarse con las dudas¡¡¡, otra pregunta también me preguntan el dominio donde las ecuaciones cauchy rieman se cumplan también verdad es cero, ya que alli es donde encontramos la anterior y pues obvio que son continuas en cero y por eso salio diferenciable en ese punto. y es analitica en cero y tatan¡¡¡ jeje ay¡¡¡ gracias por responder ¡¡¡¡te agradezco mucho¡¡¡¡¡

Realmente, no es analítica en el origen ya que para tener la analiticidad en un punto, la función debe ser diferenciable en un punto $z_0$ y en un entorno de éste. En nuestro ejemplo, con salirte sólo un poquito del origen, es decir, fijando por ejemplo $x = 0,00000001$ e $y = 0,00000001$ ya no se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann y se pierde la diferenciabilidad para todo punto distinto del origen. Otro ejemplo de función donde ocurre lo mismo es $f(z) = |z|^2$; sólo es diferenciable en el origen sin serlo en ningún entorno de éste, luego no es analítica en ningún punto.

pd: te gusta iron maiden?? verdad que es genial¡¡¡ uu maiden rules¡¡¡¡ la verdad tocan excelente y sus conciertos son una locura, y al igual que sus canciones the wickerman, diferent world, dance of death ooo no hay miles de canciones buenas jeje judas prest la verdad no lo e escuchado mucho, tambien es muy bueno scorpions uuu¡¡¡ ups¡¡ creo que ya exagere jeje bueno adios y gracias y gracias¡¡¡¡¡

Sí, el metal es una parte importante de mi vida. Pero podemos seguir hablando de esto en privado o en los mensajes de perfil.

Saludos y ánimo, que la variable compleja es muy bonita.