1r ciclo Integrales, repaso

[skinner]

Hola Quiero preguntar algo que no hice en bachillerato, ya que empiezo la carrera de aeroespaciales en septiembre-octubre (al final me han cogido )

¿Por qué dentro de una integral, aparece siempre un diferencial de x? Ejemplo:


Sé que significa que estamos integrando en función de x pero ¿por qué aparece? ¿de dónde ha salido?

Lo sé, es una pregunta un poco básica como para estar a punto de entrar a la uni, pero la realidad es que no me atreví a preguntar a mi profe durante el curso pasado.

Un saludo y gracias!

[Metaleer]

Re: Integrales, repaso

De forma aislada, el símbolo $dx$ no tiene ningún significado, de la misma manera que $x \rightarrow$ también carece de sentido, al menos que aparezca en una expresión como $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)$. Sólo se trata de notación para las integrales. Su utilidad también se amplía, desde mera notación, a algo importante en el caso de integración múltiple (en varias variables) ya que dónde se coloque indica cuál integral hay que realizar primero.

Históricamente, la notación se debe a Leibniz, ya que éste consideraba la integral definida como la suma de infinitos rectángulos de altura $f(x)$ y de grosor infinitesimalmente pequeño $dx$. Autores más modernos empezaron a usar la resta de valores sucesivos que se consideraban en una partición, $x_i - x_{i-1}$, y la abreviaban como $\Delta x_i$, y se definía la integral como

$$\lim_{\Delta x_i \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i$$

y mirando esto, se puede pasar convenientemente de suma de Riemann a integral, sustituyendo $\displaystyle \lim_{\Delta x_i \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}$ por $\displaystyle \int$, $f(x_i)$ por $f(x)$ y $\Delta x_i$ por $dx$.

Por otra parte, para las ecuaciones diferenciales ordinarias más sencillas, el diferencial se suele manejar como si fuera un número, al que se aplican todas las propiedades algebraicas de éstos. Estoy hablando de las ecuaciones diferenciables ordinarias de variables separables o variables separadas. El tratamiento riguroso lo puedes encontrar aquí.

Saludos.

[skinner]

Re: Integrales, repaso

Muchas gracias, miraré ese enlace. Entonces, "dx" es dos letras adicionales que se ponen para indicar que se deriva con respecto a la variable x, ¿no es así? Es decir, es algo totalmente adicional.. ¿no?

Un saludo!

[Metaleer]

Re: Integrales, repaso

Muchas gracias, miraré ese enlace. Entonces, "dx" es dos letras adicionales que se ponen para indicar que se deriva con respecto a la variable x, ¿no es así? Es decir, es algo totalmente adicional.. ¿no?

Un saludo!

Que se integra con respect a $x$ dirás, pero sí.

[Al2000]

Re: Integrales, repaso

... Entonces, "dx" es dos letras adicionales que se ponen para indicar que se deriva con respecto a la variable x, ¿no es así? Es decir, es algo totalmente adicional.. ¿no?
...

A mi entender parecieras estar implicando que el "dx" cumple una función cosmética, sirviendo sólo para identificar la variable de integración.

Al menos para las integrales definidas, el diferencial tiene un mayor significado. Como ya lo mencionó Metaleer anteriormente el "dx" representaría el ancho del rectángulo en la suma de Riemann. Mas allá que la interpretación geométrica de área bajo una curva, la integral la puedes considerar como una suma ponderada de elementos "dx" que forman parte del total donde cada elemento entra en la suma con un "peso" f(x). En esa suma ponderada cada elemento "dx" interviene como un factor que incluso podrá tener unidades.

Como ejemplo, en el cálculo de la distancia que recorre un móvil con velocidad v(t), la distancia recorrida en cada intervalo "dt" es v(t) dt, de modo que la distancia total es la suma de las pequeñas distancias v(t) dt recorridas en cada intervalo: $\dst x = \int_{t_1}^{t_2} v_{(t)} \,dt$. Nota que $dt$ tiene unidades de tiempo para que la expresión bajo el signo de integración tenga unidades de distancia, que es en definitiva lo que se está sumando.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Integrales, repaso

A mi entender parecieras estar implicando que el "dx" cumple una función cosmética, sirviendo sólo para identificar la variable de integración.

Al menos para las integrales definidas, el diferencial tiene un mayor significado. Como ya lo mencionó Metaleer anteriormente el "dx" representaría el ancho del rectángulo en la suma de Riemann. Mas allá que la interpretación geométrica de área bajo una curva, la integral la puedes considerar como una suma ponderada de elementos "dx" que forman parte del total donde cada elemento entra en la suma con un "peso" f(x). En esa suma ponderada cada elemento "dx" interviene como un factor que incluso podrá tener unidades.

Como ejemplo, en el cálculo de la distancia que recorre un móvil con velocidad v(t), la distancia recorrida en cada intervalo "dt" es v(t) dt, de modo que la distancia total es la suma de las pequeñas distancias v(t) dt recorridas en cada intervalo: $\dst x = \int_{t_1}^{t_2} v_{(t)} \,dt$. Nota que $dt$ tiene unidades de tiempo para que la expresión bajo el signo de integración tenga unidades de distancia, que es en definitiva lo que se está sumando.

Saludos,

Al

Ya decía yo... no podía ser solo para adornar a la integral, alguna función tenia que tener. Espero que me corrijas si me equivoco. Entiendo como integral lo siguiente:

Es la suma de infinitos rectángulos de altura f(x) y base dx. Si entendemos la integral como el área comprendida entre f(x) y el eje x, podemos decir que la integral es la suma de áreas de infinitos rectángulos de altura f(x) y base dx, y como Área rectángulo = altura x base = f(x)dx, entonces ahí lo tenemos. ¿Es así? ¿Falta algo por añadir? ¿A nivel universitario tendría que añadir algo más a la definición? ¿Es válida o demasiado específica?

Un saludo y muchas gracias

[Metaleer]

Re: Integrales, repaso

Ya decía yo... no podía ser solo para adornar a la integral, alguna función tenia que tener. Espero que me corrijas si me equivoco. Entiendo como integral lo siguiente:

Es la suma de infinitos rectángulos de altura f(x) y base dx. Si entendemos la integral como el área comprendida entre f(x) y el eje x, podemos decir que la integral es la suma de áreas de infinitos rectángulos de altura f(x) y base dx, y como Área rectángulo = altura x base = f(x)dx, entonces ahí lo tenemos. ¿Es así? ¿Falta algo por añadir? ¿A nivel universitario tendría que añadir algo más a la definición? ¿Es válida o demasiado específica?

Un saludo y muchas gracias

Normalmente, a nivel universitario, todo esto se suele formalizar con el concepto de suma de Riemann, pero sí, la idea fundamental es ésa.

[skinner]

Re: Integrales, repaso

¿Pero la suma de Riemann no se da en Bachillerato? Creo haberla leído... lo de "integral de Riemann", el profe nos dio unos apuntes pero no sé si se hará más ahinco en la universidad... por curiosidad, ¿qué más cosas relacionadas con el cálculo veré? además de las integrales múltiples y las impropias... jeje

Ah! Fui a la facultad de ingeniería de Sevilla (sí, voy a estudiar en Sevilla), y pedí en la papelería una copia de exámenes resueltos de cálculo de 1º... Dios! jaja ¿cuánto tiempo se tiene para hacer un examen en la uni? En bachillerato el tiempo ronda de 50 minutos (exámenes cortos) hasta 90 minutos (exámenes largos)

Un saludo.

[Singularidad]

Re: Integrales, repaso

Es solo una manera de expresar que la base de cada rectangulo que conforma la integral es un infinitésimo.
Mañana repaso los diferenciales y te confirmo la relacion rigurosa que tiene con $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dx} }f(\bar{x} )$

[Metaleer]

Re: Integrales, repaso

¿Pero la suma de Riemann no se da en Bachillerato? Creo haberla leído... lo de "integral de Riemann", el profe nos dio unos apuntes pero no sé si se hará más ahinco en la universidad... por curiosidad, ¿qué más cosas relacionadas con el cálculo veré? además de las integrales múltiples y las impropias... jeje

Ah! Fui a la facultad de ingeniería de Sevilla (sí, voy a estudiar en Sevilla), y pedí en la papelería una copia de exámenes resueltos de cálculo de 1º... Dios! jaja ¿cuánto tiempo se tiene para hacer un examen en la uni? En bachillerato el tiempo ronda de 50 minutos (exámenes cortos) hasta 90 minutos (exámenes largos)

Un saludo.

La suma de Riemann yo no la di en Bachillerato, y el hecho de que la llamaran integral de Riemann es porque se basa en la suma de Riemann y para distinguirla de otra integral que sale en matemática avanzada (integral de Lebesgue). Verás bastante más cosas Sólo tienes que ver el temario (seguramente colgado en Internet) de la asignatura de Cálculo/Análisis de primero.

Mi sugerencia es que no te mires exámenes de la Facultad ahora, eso cuando empieces a estudiar el temario propiamente dicho. La duración depende del reglamento de la universidad, de la Escuela en cuestión, del departamento que imparte docencia de la asignatura en cuestión... normalmente, si no lo pone en la hoja de enunciados, los docentes de guardia en el examen deben decir explícitamente antes de empezar.

Saludos.