Otras carreras Demostrar la derivada del arcoseno

[skinner]

Por más que busco por internet, no encuentro la demostración de la derivada del arcoseno... ¿alguien me ayuda? Sé que tengo que partir del concepto de derivada como límite cuando h tiende a cero del cociente entre la diferencia de alturas y de bases, pero me queda:

f'(x) = lim (x->0) [ (arcsen(x+h) - arcsen(x) ) / h ]

Otra duda, ¿hay alguna interfaz gráfica para usar TEX? ¿O hay que aprender el lenguaje a la fuerza?

Un saludo!

[carmelo]

Re: Demostrar la derivada del arcoseno

Hola:
Podes usar el teorema de la derivada de la función inversa. Si no se te ocurre como, vuelve a preguntar.

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Demostrar la derivada del arcoseno

Nunca he escuchado acerca de ese teorema... ¿serías tan amable de enunciármelo? Ahora mismito entro a la carrera de Aeroespaciales, pero en bachillerato no nos explicaron ese teorema.

Un saludo!

[carmelo]

Re: Demostrar la derivada del arcoseno

Hola:
Es bien sencillo, sabemos que la función inversa del arcoseno es el seno y lo podemos escribir como sigue.
$y=\arcsin x \Rightarrow \sin y = x$
Derivando a ambos lados de la segunda expresión:
$\cos (y)\cdot y'=1$, despejando $y'$ se tiene:

$y'=\dst\frac{1}{cos y}=\dst\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\dst\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

El teorema de la derivada de la función inversa dice basicamente, que toda función y=f(x) monotona (creciente o decreciente), continua y derivable en un intervalo cuya derivada no es nula en ese intervalo, se tiene entonces que existe la función inversa y a su vez es derivable en el intervalo correspondiente. El valor de la derivada es
$g'(y)=\dst\frac{1}{f'(x)}$ o
$f'(x)=\dst\frac{1}{g'(y)}$
En nuestro caso aplicando el teorema de la derivada de la función inversa llegariamos a lo mismo (uff!!! menos mal).
$y'=f'(x)=\dst\frac{1}{(\sin y)'}=\dst\frac{1}{\cos y}$

Saludos
Carmelo

[Metaleer]

Re: Demostrar la derivada del arcoseno

Por más que busco por internet, no encuentro la demostración de la derivada del arcoseno... ¿alguien me ayuda? Sé que tengo que partir del concepto de derivada como límite cuando h tiende a cero del cociente entre la diferencia de alturas y de bases, pero me queda:

f'(x) = lim (x->0) [ (arcsen(x+h) - arcsen(x) ) / h ]

Otra duda, ¿hay alguna interfaz gráfica para usar TEX? ¿O hay que aprender el lenguaje a la fuerza?

Un saludo!

Aquí tienes un error, el límite debe ser cuando $h$ tiende a .

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Saludos.

[skinner]

Re: Demostrar la derivada del arcoseno

Muchísimas gracias a los dos, me ha sido de gran utilidad

Otra cosa... me da la sensación de que voy a la universidad sin saber demostrar ciertas cosas en matemáticas... sé utilizar la regla de la cadena, pero no entiendo el por qué; sé aprenderme las derivadas de las funciones inversas trigonométricas pero, no sé de dónde vienen (bueno, ahora sí:P); y bueno, dudas como estas me surgen cada 2 por 3, mientras más repaso, más dudas... ¿creéis que es un error de base? ¿debo aprenderme las cosas de memoria y se acabó?

Un saludo, y gracias ,

[Metaleer]

Re: Demostrar la derivada del arcoseno

Muchísimas gracias a los dos, me ha sido de gran utilidad

Otra cosa... me da la sensación de que voy a la universidad sin saber demostrar ciertas cosas en matemáticas... sé utilizar la regla de la cadena, pero no entiendo el por qué; sé aprenderme las derivadas de las funciones inversas trigonométricas pero, no sé de dónde vienen (bueno, ahora sí:P); y bueno, dudas como estas me surgen cada 2 por 3, mientras más repaso, más dudas... ¿creéis que es un error de base? ¿debo aprenderme las cosas de memoria y se acabó?

Un saludo, y gracias ,

No te preocupes, en bachillerato apenas enseñan a demostrar las cosas. Ahora bien, en un curso universitario de Cálculo Infinitesimal/Análisis Matemático que se aprecie, ya te demostrarán las cosas. Y si no, ya sabes: bibliografía.