1r ciclo Ayuda integral 1

[skinner]

Hola buenas, ¿podríais ayudarme a resolver la siguiente integral?

$$\int \frac{a{x}^{2}-bx+c}{a{x}^{2}+bx-c}dx$$

Según el e-book que uso (se llama 801 Integrales Resueltas, pág 224, ejercicio 60, e-book totalmente gratuito: http://www.megaupload.com/?d=O7Q9L3Y5), lo de dentro de la integral es una constante, y la solución es:

$$\int \frac{a{x}^{2}-bx+c}{a{x}^{2}+bx-c}dx = \frac{a{x}^{2}-bx+c}{a{x}^{2}+bx-c}\int dt = \frac{a{x}^{2}-bx+c}{a{x}^{2}+bx-c}t + K$$

Ni siquiera sé de dónde sale el cambio ese tan raro que hizo, dx=dt...

Según Wolfram Integrator:

http://integrals.wolfram.com/index.j...9&random=false

Las soluciones son completamente distintas, ¿cuál es la correcta? ¿Por qué hizo eso el libro?

¡Un saludo y gracias de antemano!

[Cara cruzada]

Re: Ayuda integral 1

Pues la verdad es que no se muy bien lo que han pretendido hacer en tu manual, pero creo que deberías intentar una división de los dos polinomios y a ver que te sale. Dado que son del mismo grado debería ser más sencillo así...

[GNzcuber]

Re: Ayuda integral 1

Hola skinner,

¿Tienes fuego? ¡Pues quema ese libro!

No puede el integrando ser una constante porque hay variables sobre las cuales estás integrando. Fíjate bien si en vez de $\dst {d}x$ no ponía $\dst {d}t$, en tal caso tendría sentido.

Bueno, vamos a resolverla, primero debemos dividir numerador con el denominador de manera que tengamos estrictamente una fracción polinómica (grado del denominador mayor al del numerador):

No sé si sabes hacer estas divisiones, se hacen como las de toda la vida, pero en ciertos casos que los grados sean iguales también hay otra forma que consiste en sumarle algebraicamente lo necesario para que me dé la unidad:

$$\displaystyle \frac{ax^2-bx+c}{ax^2+bx-c}+\frac{2bx-2c}{ax^2+bx-c}-\frac{2bx-2c}{ax^2+bx-c}=1-2\frac{bx-c}{ax^2+bx-c}$$

Por lo tanto:

$$\displaystyle \int\frac{ax^2-bx+c}{ax^2+bx-c}{d}x=\int {d}x-2\int\frac{bx-c}{ax^2+bx-c}{d}x$$

La primera integral es inmadiata, entonces nos ocuparemos de la segunda, como el numerador es menor en un grado al denominador, ésto nos indica que su integral será un logaritmo neperiano, pero para que lo sea el numerador debe ser la derivada del numerador ... pues ¡Manos a la obra!

Primero, como me he equivocado, te mostraré la forma que no debes hacer:

$$\dst (ax^2+bx-c)'=2ax+b\rightarrow -\frac{2bx-2c}{ax^2+bx-c}+\frac{2bx+2ax-2c+b}{ax^2+bx-c}-\frac{2(b+a)x-2c+b}{ax^2+bx-c}=$$

$$\dst =\frac{2ax+b}{ax^2+bx-c}-\frac{2(b+a)x-2c+b}{ax^2+bx-c}$$

Hemos conseguido lo que queríamos, pero ahora la nueva integral tiene las mismas características que la anterior, por lo tanto hemos entrado en un bucle. Ahora lo realizaré de la forma correcta, que nos ayudará a avanzar:

$$\dst -\frac{2bx-2c}{ax^2+bx-c}=-\frac{b}{a}\cdot\left[\frac{\dst 2ax-2\frac{ac}{b}}{\dst ax^2+bx-c}+\frac{2ac+b^2}{b(ax^2+bx-c)}-\frac{2ac+b^2}{b(ax^2+bx-c)}\right]=$$

$$\dst -\frac{b}{a}\frac{2ax+b}{ax^2+bx-c}+\frac{1}{a}\frac{2ac+b^2}{ax^2+bx-c}$$

Ésto es:

$$\dst \int \frac{bx-c}{ax^2+bx-c}{d}x=-\frac{b}{a}\int\frac{2ax+b}{ax^2+bx-c}+\frac{2ac+b^2}{a}\int\frac{{d}x}{ax^2-bx-c}$$

Nuevamente la primera integral es inmediata, pero para la segunda hay que hacer algo rebuscado, primero que nada cuando tienes grado cero en el numerador y grado dos en el denominador, deberás recurrir a la integral del arcotangente.
Para ello deberás completar cuadrados (lo cual se muestran métodos a partir de este post).

Haces el dichoso cambio de variable y te puede quedar una de las tres formas siguientes:

$$\dst K\int\frac{{d}t}{1+t^2}=K\cdot\arctan(t)+C$$

$$\dst K\int\frac{{d}t}{1-t^2}=K\cdot argtanh(t)+C$$

$$\dst K\int\frac{{d}t}{t^2-1}=-K\int\frac{{d}t}{1-t^2}$$

¡Saludos!

P.D.: $\dst argtanh(t)$ es el argumento tangente hiperbólica de la variable, que luego deberás sustituir por el cambio de variable que hayas hecho. Y $\dst K$ es la constante que te pueda quedar multiplicada la integral.

[skinner]

Re: Ayuda integral 1

Muchas gracias por dedicarme este post, aún tengo mucho por aprender...

Dos preguntas:

1. ¿Cómo pones el número de la ecuación a la derecha en color azul?

Hemos conseguido lo que queríamos, pero ahora la nueva integral tiene las mismas características que la anterior, por lo tanto hemos entrado en un bucle. Ahora lo realizaré de la forma correcta, que nos ayudará a avanzar:

2. ¿Por qué has supuesto que lo mejor sería sacar factor común b/a?

Gracias de nuevo.

¡Un saludo!

[Metaleer]

Re: Ayuda integral 1

Para poner el número de la ecuación a la derecha en color azul, la etiqueta para abrir el código LaTeX debe ser [TEX=*].

[GNzcuber]

Re: Ayuda integral 1

[QUOTE=skinner;68523]Muchas gracias por dedicarme este post, aún tengo mucho por aprender...[/tex]

Por nada, yo aún tengo que aprender métodos más avanzados. Lo que te explico es el siguiente paso en lo básico, el primer paso es entender y saber aplicar: inmediatas, cambio de variables, y por partes. Éstas son las herramientas, además de la linealidad de la integración, luego resolver integrales racionales, así, cuando llegas a una integral racional te aseguras poder resolverla.

Repasa las identidades trigonométricas, si miras sus demostraciones verás que son muy sencillas y que no hará falta recordárlas de memoria, yo no lo hago, aunque con la práctica se te quedan. Y son una buena base para los siguientes pasos, las integrales trigonométricas e integrales irracionales.

2. ¿Por qué has supuesto que lo mejor sería sacar factor común b/a?

No lo he supuesto, lo he comprobado, para cambiar algo hay dos formas elementales principalmente, una de ellas es la suma y resta del mismo número, para no modificar el resultado, ésto lo he hecho, sí he caído en la trampa, y he comprobado que el resultado era una integral inmediata, como quería, pero el "desecho" tenía la misma forma que la anterior, eso sugiere que si aplico el mismo método tendré nuevamente una inmediata y nuevamente un desecho del mismo estilo, y así sucesivamente, que incluso los desechos se van complicando poco a poco más. Por lo tanto ese camino no es viable.

El segundo camino elemental es multiplicar y dividir por un mismo escalar, para no alterar el resultado, y no tienen que ser escalares porque son constantes que podremos sacar de una integral y por lo tanto no molestan.

Pero supongo que me preguntas ¿Por qué justamente b/a y no otro número? La razón es sencilla, es justamente la misma razón que te iba a explicar en el método de completar cuadrados y que se me pasó, pero Pod lo mencionó: lo primero es preocuparte por el término de mayor grado, porque sabes que el desecho será de menor grado (si lo haces por un método adecuado) ⁽¹⁾ y es más fácil de trabajar con los menores. En el caso de completar cuadrados, lo primero es hacer mónico al polinomio, así el producto del término lineal será el doble de la raíz cuadrada del término independiente por la variable, luego para la variable deberás sumar y restar a conveniencia, y sacarla factor común.

Bueno, en este caso es aún más sencillo, como puedes ver, yo necesitava en el numerador $\dst 2ax+b$, por el término de menor grado no me preocuparé, eso ya lo haré después. Pues tengo:

$$\dst -\frac{2bx-2c}{ax^2+bx-c}$$

Para pasar de 2bx a 2ax es necesario dividir por b y multiplicar por a, pero para no alterar el resultado debo a la vez multiplicar por b y dividir por a:

$$\dst -\left(\frac{b}{a}\frac{a}{b}\right)\frac{2bx-2c}{ax^2+bx-c}=-\frac{b}{a}\cdot\frac{\dst \frac{a}{b}2bx-\frac{a}{b}2c}{ax^2+bx-c}=-\frac{b}{a}\cdot\frac{\dst 2ax-2\frac{ac}{b}}{ax^2+bx-c}$$

Luego, debo seguir con el segundo término, ahora sí que no puedo multiplicar y dividir porque me afectaría también al primer término que lo tengo tal como quiero, entonces, aquí es cuando debo sumar y restar a conveniencia. El término que me quedará como residuo necesariamente tendrá el mismo grado que el que quiero cambiar y éste es menor al que tenía al principio.

Esta parte no la seguiré porque ya está en mi primer post y estoy seguro que la has entendido, pero si te queda alguna duda, no dudes en preguntar .

¡Saludos!