1r ciclo Taylor 2

[skinner]

Tengo un ejercicio que me dice:

"Cuando $0\leqslant x\leqslant 0.01$, demuestra que ${e}^{x }$ se puede reemplazar por $1+x$ con un error menor que el 0.6% de x. Usa que ${e}^{0.01 } = 1.01$

Yo dije lo siguiente:

Nos han dado un Polinomio de Taylor centrado en a=0 y de orden 1 (es una linealización). A partir de aquí, nos piden demostrar que:

$$|f(x)-{P}_{1 }(x)| = |{R}_{1 }(x)| < 0.006x$$

También sabemos dos cosas:

La primera: $\dst |{R}_{1 }(x)| = \frac{{e}^{c } }{2 }{x}^{2 }< 0.006x$

La segunda: $c \in(a,x)$

¿Es cierto todo lo que dije? ¿Cómo puedo seguir? ¿Por qué me dicen que considere que ${e}^{0.01 } = 1.01$ ?

Muchas gracias, y un saludo!

[skinner]

Re: Taylor 2

¿A alguien se le ocurre algo? Sin considerar que e^(0.01) = 1.01, mi solución es:

x <= 0.0012 lo que claramente es erróneo, ¿cómo lo han hecho ustedes?

Un saludo

[Al2000]

Re: Taylor 2

¿No tienes allí un cero demás? ¿No quedaría que $\dst \frac {\ee ^{0.01}} 2 x^2 < 0.006 x \quad \Rightarrow \quad x < \frac {\bold {0.012}}{e^{0.01}} = 0.0119$ ?

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Taylor 2

Sí sí, se me coló un cero. Mi solución es x< 0.012, pero no coincide con la demostración, que dice que $0\leqslant x\leqslant 0.01$

¿Qué es lo que ha pasado? ¿Y por qué en mi demostración no he tenido que usar en ningún momento que e^(0.01) = 1.01?

Yo dije que |f(h) - P1(h)| = |R1(h)| = (1/2)(e^c)(h^2) <= (1/2)(h^2) < 6·10^(-3)h -------> h < 0.012

No me coincide...Saludos y muchas gracias

[carmelo]

Re: Taylor 2

Hola:

Bueno a mi me da otra cosa

$E<\dst\frac{\dst\frac{e^{0,01}}{2}x^2}x\times100=50.5x$ si es que estamos hablando de error porcentual. Para $x=0.01$ sería $E_{0.01}<0.5\%$

Saludos

[Al2000]

Re: Taylor 2

Sí sí, se me coló un cero. Mi solución es x< 0.012, pero no coincide con la demostración, que dice que $0\leqslant x\leqslant 0.01$
...

Si la solución es válida para x < 0.012, entonces será válida para x < 0.01 que es lo que querías demostrar.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Taylor 2

Muchas gracias a los 2! Aunque sigo sin comprender eso de "usa que $e^{0.01}=1.01$"

Un saludo!

[skinner]

Re: Taylor 2

He vuelto a hacer el ejercicio de nuevo y no estoy contento con el resultado... el enunciado dice que "x" debe estar comprendida entre 0 y 0.01(incluido), pero mi resultado (el del post anterior) dice que x debe ser menor que 0.012, y además, no pone una restricción inferior...

Creo que el error está en alguna parte por no haber considerado que e^0.01 = 1.01, como dice el enunciado que considere...

Por favor, ¿alguien me dice por qué? Mi resultado es claramente erróneo...

Un saludo

[John_j]

Re: Taylor 2

Yo diría que lo que tienes que hacer con ese dato que te dan es recordar que la función exponencial es creciente y por lo tanto $e^c < e^{0,01}$ para todo $c \in (0,1)$.Teniendo esto en cuenta podemos dar una cota del error cometido

$\displaystyle{\frac{e^c}{2} x^2 < \frac{e^{0,01}}{2} x^2 < \frac{e^{0,01}}{2} (0,01)^2 \approx 0,00005}$

que es inferior al 0,6 %.

[skinner]

Re: Taylor 2

¿Por qué $\displaystyle{\frac{e^{0,01}}{2} x^2 < \frac{e^{0,01}}{2} (0,01)^2}$ ?

Saludos

[John_j]

Re: Taylor 2

¿Por qué $\displaystyle{\frac{e^{0,01}}{2} x^2 < \frac{e^{0,01}}{2} (0,01)^2}$ ?

Saludos

Porque el valor x debe estar dentro del intervalo $0 \leq x \leq 0,01$, y por lo tanto para el valor extremo 0,01 obtienes el valor más grande posible de $\frac{e^{0,01}}{2} x^2$

[skinner]

Re: Taylor 2

Pero entonces me he confundido yo... qué te piden demostrar: ¿que el error es menor a 0.6%? ¿o que el valor de x debe estar comprendido entre 0 y 0.01 para que el error sea menor a 0.6%? ¿O las dos cosas?

Un saludo y gracias (yo demostré, o intenté demostrar, que el error es menor a 0.6% para todo 0<=x<=0.01)

[Al2000]

Re: Taylor 2

Me voy con un ejemplo un tanto ridículo. Si te pidieran demostrar que una esfera de 1/2 m de radio pasa por un agujero circular que encierra un área pi^2, lo que harías es calcular el radio del agujero y al conseguir que vale 1 m concluirías que la esfera pasa a través de él.

Volviendo a tu problema, los cálculos muestran que para valores de $x$ hasta 0.012 la aproximación tiene un error menor a 0.6%. Entonces, y sabiendo que mientras mas pequeño sea $x$ menor será el error, puedes concluir que hasta 0.01 el error será menor que 0.6%.

El problema estaría si al hacer los cálculos obtuvieses que para no sobrepasar un error de 0,6% el máximo valor de $x$ tuviese que ser, digamos, de 0.008... allí si tendrías una dificultad porque para x = 0.01 el error sería mayor que el máximo estipulado. Afortunadamente ese no es el caso.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Taylor 2

Vale Al2000, eso lo he comprendido perfectamente. Pero recuerda que el ejercicio dice que x debe estar comprendido entre 0 y 0.01, es decir, no solo debemos considerar la cota máxima sino la mínima... pero a mi no me ha salido ningún resultado que me diga que x debe ser mayor que 0. Esa es mi duda. ¿Por qué?

Un saludo!

[Al2000]

Re: Taylor 2

La respuesta la tienes en tu ecuación (1) en tu primer mensaje, donde pones que |resto| < 0.006x. Obviamente x no puede ser negativa, puesto que |resto| siempre será positivo o cero.

Saludos,

Al