1r ciclo Límite función exponencial

[skinner]

Buenas! Tengo el límite:

$$\lim_{x \to {0}^{+} }{(\frac{\tan x}{x })}^{1/x } = L$$

Tomando logaritmo neperiano a ambos lados de la ecuación, llego a que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Ahora no sé operar el segundo miembro... no sé cómo continuar, y a mi profe no le gustan los infinitésimos (dice que no los usemos, porque exigen un monton de condiciones a la hora de utilizarlos)

¿Alguien me da una pista? He intentado derivando arriba y abajo unas 4 veces... me ha salido un pedazo de función, jeje, pero nada. Tampoco puedo ponerlo de la forma f(x)/g(x) = 1/ f(x) · g^(-1)(x)

¿Qué me recomendáis?

Un saludo!

[skinner]

Re: Límite función exponencial

Derivando una vez arriba y abajo, y simplificando, llegué a que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Operando con el límite segundo, llegamos a:

$$\lim_{x \to {0}^{+}}(\frac{1}{tan x} + tan x - \frac{1}{{x}^{2}})=(\infty - \infty \text{ indet.} )= \lim_{x \to {0}^{+}}(\frac{1}{tan x} - \frac{1}{{x}^{2}})$$

Pero tengo dos preguntas:

1. ¿Es siempre posible derivar arriba y abajo, sea cual sea la función?
2. ¿Cómo continúo?

Un saludo!

[Al2000]

Re: Límite función exponencial

Creo que si expresas la derivada del logaritmo como la inversa del argumento por la derivada interna y vuelves a tomar el límite te saldrá mas sencillo. Algo así:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
El límite del primer factor es 1 (¿debes demostrarlo?) y el del segundo factor, que es del tipo 0/0, se resuelve que da 0 derivando numerador y denominador.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Límite función exponencial

Muchas gracias Al, me ha servido de bastante. ¿Y por qué el límite del primer factor es 1?

Un saludo!

[Al2000]

Re: Límite función exponencial

...¿Y por qué el límite del primer factor es 1?
...

Me imaginé que ibas a querer demostrarlo también Resuélvelo aparte derivando numerador y denominador. Es un límite similar al de seno x/x.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Límite función exponencial

Es que pregunto mucho... menos mal que tenéis suficiente paciencia :P

Un saludo y gracias de nuevo!

[magic]

Re: Límite función exponencial

Creo que si expresas la derivada del logaritmo como la inversa del argumento por la derivada interna y vuelves a tomar el límite te saldrá mas sencillo. Algo así:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
El límite del primer factor es 1 (¿debes demostrarlo?) y el del segundo factor, que es del tipo 0/0, se resuelve que da 0 derivando numerador y denominador.

Saludos,

Al

entonces finalmente quedaria 1x0=0 y L=1?

[Al2000]

Re: Límite función exponencial