Divulgación Indeterminaciones

[natanael]

Estas cosas tambien son indeterminaciones: $\dst \dfrac{0}{\infty}$ , $\dst \dfrac{0}{-\infty}$ , $\dst \dfrac{\infty}{0}$ , $\dst \dfrac{-\infty}{0}$ , $\dst {-\infty }^0$ , $\dst 1^{-\infty }$ , $\dst \dfrac{\infty}{-\infty}$ , $\dst \dfrac{-\infty}{\infty}$ , $\dst -\infty -\infty$ que me imagino debe ser lo mismo que $\dst -(\infty +\infty)$ ?

[GNzcuber]

Re: Indeterminaciones

Hola hidromagnetismo,

Piensa cada parte por separado, antes que nada supongo que estás hablando de límites de funciones, porque algo dividido por cero no estará indefinido, un número diferente de cero elevado a cero, será uno, y uno elevado a cualquier número será uno. Lo que pasa que en el estudio de las funciones no son exactamente ese número, sinó que se aproximan, y hay que ver el comportamiento de cada función.

A qué me refiero con ésto, simplemente, que si tienes $\dst \lim_{x\to a}f(x)=0$ y $\dst \lim_{x\to a}g(x)=\infty$, cuando te proponen resolver $\dst \lim_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)=?$, a priori no puedes dar ningún resultado, ya que la función f(x) no es exactamente cero, sinó que tiende a ese número, y esa indeterminación la representamos por $\dst 0\cdot \infty$

Usaré el primer caso y el tercero, en los cuales estudiaré el efecto que hace cada función por separado, pero primero debemos recordar la linealidad de los límites y otra propiedad:

$$\dst \lim_{x\to a}\left[b\cdot f(x)+c\cdot g(x)\right]=b\cdot \lim_{x\to a}f(x)+c\cdot \lim_{x\to a}g(x)$$

$$\dst \lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$$

Caso 1)

$$\dst \frac{0}{infty}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\quad |\quad \lim_{x\to a}f(x)=0,\lim_{x\to a}g(x)=\infty$$

$$\dst \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}\frac{1}{g(x)}=0\cdot \frac{1}{\infty}=0\cdot 0=0$$

Caso 2) ¿Cuál es la diferencia? Si entiendes la esencia de las indeterminaciones verás que el problema del signo aparece sólo en $\dst infty - infty$ ¿Por qué? Simplemente, pensemos en $\dst \infty + \infty$ ¿Cuál es el resultado de sumarle a una cantidad infinita otra infinita? Pues infinito. Pero ¿Cuál es el resultado de quitarle a una cantidad infinita otra cantidad infinita? Pues dependerá del orden de infinito. Así como $\dst 7-2\neq 2-7$. Añadiendo que además de darte un número, te pueden dar otros resultados, como el cero e infinito.

Caso 3) Igualmente que en 1), pero ahora $\dst \lim_{x\to a}f(x)=infty,\,\,\, \lim_{x\to a}g(x)=0$:

$$\dst \frac{\infty}{0}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}\frac{1}{g(x)}=\infty\cdot \frac{1}{0}=\infty\cdot \infty=\infty$$

Nota que cuando uso expresiones como $\dst \frac{1}{0}$ ó $\dst \infty$, bueno, todas las que parecen operaciones algebraicas, no son más que una representación del valor del límite, porque no se puede operar algebraicamente con esos números, por no decir que, nuevamente, la división entre cero no está definida.

¡Saludos!

P.D.: Entre las que has escrito, hay cuatro indeterminaciones, no todas son diferentes, recuerda que $\dst -\frac{\infty}{\infty}=\frac{-\infty}{\infty}=\frac{\infty}{-\infty}$, sin embargo ¿Por qué no te has preguntado si $\dst \frac{-\infty}{-\infty}$ era o no una indeterminación? Supongo que en el fondo sabías que era igual a $\dst \frac{\infty}{\infty}$.

Las otras dos indeterminaciones no se excluyen de $\dst 1^{\infty}$ y $\dst \infty^0$, porque como ya te he dicho, son representaciones.

Por cierto, creo que te has dejado la que más dudas podría haber surgido, aunque es fácil de ver si es una indeterminación o no: $\dst 0^\infty$, ésta te la dejo como deberes .

[natanael]

Re: Indeterminaciones

Gracias GNzcuber, tienes razon cuando mensionas la manera lógica de ver porque $\dst \infty +\infty = \infty$ , mientras que $\dst \infty -\infty$ vá a depender más de la manera como se llegue a ese límite.

Con respecto al $\dst \dfrac{-\infty }{-\infty }$ , tienes razón hacerca del porque no lo coloqué en la lista, pero como puedes notar, la unica manera de llegar a $\dst \dfrac{\infty }{\infty }$ partiendo de $\dst \dfrac{-\infty }{-\infty }$ , es simplificando algebraicamente los signos, y yá aquí le estaríamos aplicando las reglas del algebra tradicional a estos simbolos que son como tu mensionas, representaciones.

Ahora con este límite $\dst 0^\infty$, sí que voy a pasar trabajo, pero bueno déjame a ver si lo pillo.

Gracias,

Saludos.