1r ciclo Qué pasa cuando el orden de un P. de Taylor tiende a infinito?

[skinner]

Buenas, tenía una pregunta... ¿qué pasa cuando el orden de un polinomio de Taylor de f tiende a infinito? Mi respuesta fue que: el polinomio se parece cada vez más a la función f(x), y que el resto de Taylor tiende a cero...

Pero el profe no comparte mi pensamiento de que el resto de Taylor tienda a cero... ni el otro, creo que tampoco la comparte

¿Por qué?

Un saludo!

[aLFRe]

Re: Qué pasa cuando el orden de un P. de Taylor tiende a infinito?

Buenas, tenía una pregunta... ¿qué pasa cuando el orden de un polinomio de Taylor de f tiende a infinito? Mi respuesta fue que: el polinomio se parece cada vez más a la función f(x), y que el resto de Taylor tiende a cero...

Pero el profe no comparte mi pensamiento de que el resto de Taylor tienda a cero... ni el otro, creo que tampoco la comparte

¿Por qué?

Podría ser que sea porque su profesor quiere que entienda que ese "se parece" como Vd. le llama
es local, esto es en un entorno del punto donde uno hace el desarrollo
y no en todo el dominio donde está definida la función.

Podría ser que sea que lo que dice la fórmula para el resto de la aproximación de Taylor
es que permanece acotado y obtener cota superior $Q_n$ para el desarrollo de orden n.
Para una función infinitamente diferenciable con continuidad,
se pueden elegir las cotas de forma que
$\lim_{n\to \infty}\,Q_n\frac{s^{n+1}}{(n+1)!}=0$

Como en los buenos matrimonios, la relación entre el maestro y discípulo se suele arreglar
con mucho cariño y recordando aquello de 'mejor lo hablamos'.
Esto es tan así que recuerdo que uno de mis compañeros de prácticas hasta le escribía y entregaba en mano poemas a su profesora.
Eso es afecto.
¿ Ha intentado preguntarle por la razón de la discrepancia ?

Saludos.

[John_j]

Re: Qué pasa cuando el orden de un P. de Taylor tiende a infinito?

Efectivamente como te ha dicho Alfre el polinomio de Taylor es una muy buena aproximación local en un punto x=a.Matemáticamente esto lo podemos expresar mediante el límite

$\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-P_{n,a}(x)}{(x-a)^{n}}=0$

En cuanto al resto, fijémonos en su expresión

$R_{n,a}(x)=\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

Imagínate que su derivada n-ésima no se puede acotar, es decir que no existe ningún M>0 tal que |f^n(x)|<M.En ese caso el resto no tiende a 0 cuando $n \rightarrow \infty$.

Un saludo.

[aLFRe]

Re: Qué pasa cuando el orden de un P. de Taylor tiende a infinito?

Qué pasa cuando el orden de un P. de Taylor tiende a infinito?

En un día soledo, finalmente , que Infinito se seca.