1r ciclo ejericios Formula integral de cauchy (variable compleja)

[Newtomana23]

hola compañeros, bueno como veo que no hay un apartado para variable compleja, decidi postear aquip.
me dejaron los siguientes ejercicios espero me puedan guiar
1) calcular la integral usando la formula integral de cauchy de cot (z) sobre el circulo unitario.
2) usa la formula integral de cauchy para probar que $\int{e}^{kcos\theta } cos(ksen\theta )d\theta = \pi$ si la integral va de cero a pi.

en el primero pues es obvio que hay singularidad en cero. pero en la formula de cauchy pues siempre hay un z- zo en el denominador. trate de expresar de mil y un maneras pero no pude. ahora bien en clase se nos comento que en este ejercicio es como tener 1/z y tomar la f como cos(z), y ya aplicáramos la formula. pero no entiendo por que es semejante el problema.

en el segundo pues ni idea es claro que si llamamos a u=k sen theta lo que hay en la exponencial seria su derivada. y bueno lo mismo no se bien como hacerlo, por favor denme un hint. se los agradecere mucho.

[polonio]

Re: ejericios Formula integral de cauchy (variable compleja)

El primero es sencillo:

$\displaystyle \oint _c \text{cotan} (z) \dd z = \oint _c \frac{\cos (z)}{\sin (z)} \dd z = 2\pi i \sum_{k} Res (f (z_k))$

A la hora de calcular el residuo en $z_0=0$, pues, efectivamente, la única singularidad (polo simple) dentro del dírculo unidad es éste (tenemos polos simples aislados en $z_k = \pi k, \, k\in \mathbb{Z}$), podemos hacer:

Si $\displaystyle f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}; p(z_k)\neq 0, q(z_k)=0, q'(z_k) \neq 0$, entonces: $\displaystyle Res(f(z_k))=\frac{p(z_k)}{q'(z_k)}$

Así:

$\displaystyle Res(f(0))=\frac{p(0)}{q'(0)}=\frac{\cos(0)}{\cos(0)}=1$

Y:

$\displaystyle \oint _c \text{cotan} (z) \dd z = 2\pi i$

[Newtomana23]

Re: ejericios Formula integral de cauchy (variable compleja)

ohh, ya veo es que en clase solo me definieron en residuo nunca hice ninguna ejemplito, y no le entendi bien al Wunch jeje gracias¡¡¡