1r ciclo Integral por partes?

[skinner]

Buenas, para resolver un ejercicio de Taylor, necesito saber resolver la siguiente integral:

$$f(x)=\int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t} \,dt$$

He intentado resolverla por partes, pero me queda:

u=1/t -----> du = -1 / t^2 dt
dv=e^t dt -------> v= e^t

Por tanto...

$$f(x)=\int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t} \,dt=\left[ uv-\int vdu \right]_{1}^{x}=\left[ \frac{e^t}{t}-\int \frac{e^t}{t^2}dt \right]_{1}^{x}$$

Es decir, que se me ha complicado la cosa... seguramente si volviera a aplicar la integral por partes, me quedaría en el exponente un $t^3$ y así sucesivamente...

¿Qué puedo hacer?

Un saludo!

[John_j]

Re: Integral por partes?

¿Seguro que debes resolver esa integral? Porque no parece que se vaya a dejar meter mano con los métodos básicos.Si sólo necesitas calcular $f^\prime (x)$, es suficiente con que apliques el teorema fundamental del cálculo.

[skinner]

Re: Integral por partes?

Bueno, el ejercicio dice que dada esa función f(x), calculemos el P. de Taylor de orden 2 y 3 alrededor de a=1... ¿Entonces sólo tendría que derivar esa integral, que me daría la función g(x) = f'(x) = (e^t)/t ? Pero entonces por qué me dan una integral definida?

Un saludo... espeor vuestra ayuda

[Metaleer]

Re: Integral por partes?

No intentes hacer la integral; no se puede en términos de funciones elementales. Sólo tienes que aplicar la fórmula del polinomio de Taylor, y combinarlo con el Teorema Fundamental del Cálculo Integral:

$$P_a(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{1}{2!}(x-a)^2 f''(a) + \cdots + \frac{1}{n!}(x-a)^n f^{(n)}(a).$$

En este caso, $a = 1$, y $f(1) = 0$. Por el Teorema Fundamental,

$$f'(x) = \frac{e^x}{x},$$

y tienes que ir derivando de forma sucesiva y sustituyendo los valores correspondientes que te van saliendo para las derivadas en (1), hasta tener los polinomios pedidos. Ten cuidado, por cierto, he visto que has puesto de nuevo la $t$ para la variable; tienes que cambiarla.

La integral en cuestión, en términos de funciones no elementales, da una cosa tal que así, por si tenías curiosidad, así que el enfoque no crea que sea primero encontrar una expresión para esa integral y luego manipularla, sino aprovechar los teoremas.

Saludos.

[skinner]

Re: Integral por partes?

Excelentísima respuesta Metaleer, pero me gustaría saber qué hacer con los límites de las integrales. Y cómo sacar que a=1 en este caso, y que f(1)=0. Es lo único que me falta por comprender. Por lo demás, me he dado cuenta de que era un problema un poquillo trampa, porque a priori no sabes si integrar o si aplicar directamente el teorema...

Un saludo y gracias

[Metaleer]

Re: Integral por partes?

Excelentísima respuesta Metaleer, pero me gustaría saber qué hacer con los límites de las integrales. Y cómo sacar que a=1 en este caso, y que f(1)=0. Es lo único que me falta por comprender. Por lo demás, me he dado cuenta de que era un problema un poquillo trampa, porque a priori no sabes si integrar o si aplicar directamente el teorema...

Un saludo y gracias

Hombre, que $a = 1$ es lo que pusiste tú mismo en tu segundo mensaje del hilo. Es en torno a qué punto se realiza el polinomio de Taylor.

Para ver por qué $f(1)=0$, sólo tienes que fijarte en que en $t = 1$, el integrando no tiene ninguna discontinuidad, y por tanto $\int_1^1 \frac{e^t}{t}dt = 0$. Piénsalo en términos de áreas.

Y sí, en general, no es fácil ver si una integral dada "se puede hacer" o no. Con la práctica y la experiencia, verás que hay algunas integrales "tipo" que aprenderás a reconocer como integrales no elementales, que frecuentemente tienen nombres propios porque han sido estudiadas y salen bastante en matemáticas, las ciencias físicas y la ingeniería. La definición general de "función elemental", y el porqué de que algunas integrales no admiten una expresión de este tipo lo puedes encontrar todo en este artículo de Carlos Ivorra. Agárrate, porque el artículo es de cierto nivel, pero con el tiempo y cuando vayas aprendiendo más matemáticas, podrás entenderlo.

Saludos.

[skinner]

Re: Integral por partes?

Vale, ahora sí

Por cierto, de qué nos sirve saber que f(1)=0 ?

Gracias, y un saludo!

[Metaleer]

Re: Integral por partes?

Vale, ahora sí

Por cierto, de qué nos sirve saber que f(1)=0 ?

Gracias, y un saludo!

Lo necesitas saber porque es el primer término en la fórmula del polinomio de Taylor:

$$P_a(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{1}{2!}(x-a)^2 f''(a) + \cdots + \frac{1}{n!}(x-a)^n f^{(n)}(a).$$

Saludos.