1r ciclo .Integral arcsenx

[skinner]

Buenas, tengo que resolver la siguiente integral de mi boletín de ejercicios:

$$\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{{arcsen}^{3}{x}}dx$$

Haciendo el cambio t = arcsen x, llego a que:

$$\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{{arcsen}^{3}{x}}dx = \int \frac{cos^2t}{{t}^{3}}dt = \frac{sen(t)cos(t)+t}{2}+3\int \frac{sen(t)cos(t)+t}{2t^4}$$

(espero no haberme equivocado en las cuentas)

Bueno pues la cosa es que me queda otra integral de otra función cuyo denominador tiene un orden mayor, por tanto si repito el proceso me quedará otra integral de otra función cuyo grado del denominador será mayor aún. ¿Cómo puedo seguir?

Muchas gracias y un saludo!

[Al2000]

Re: .Integral arcsenx

Empieza por corregir el error en el cos^2 t, que debe ser cos t...

Saludos,

Al

[skinner]

Re: .Integral arcsenx

Gracias

[carroza]

Re: .Integral arcsenx

Empieza por corregir el error en el cos^2 t, que debe ser cos t...

Hola. Creo que $\cos^2 t$ está correcto. Hay un $\cos t$ que viene de la raiz, y otro que viene de $dx=\cos t dt$.

[skinner]

Re: .Integral arcsenx

Claro, ya decía yo jeje

¿Entonces nadie sabe cómo se resuelve? Porque nadie de mi clase es capaz, yo tampoco...

[carmelo]

Re: .Integral arcsenx

Hola:

$\dst\int\frac{\sqrt{1-x^2}}{\arcsin^3x}\dd x=\dst\int\frac{\cos ^2z}{z^3}\dd z\quad \text{CV:}\;z=\arcsin x$

Ahora utilicemos partes:


$\begin{matrix}<br /> u=\cos^2 z & u^\prime=-2\sin z \cos z \\<br /> v= \dst\frac{-1}{2z^2}& v^\prime=\dst\frac 1{z^3}<br /> \end{matrix}$

$\dst\int\frac{\cos ^2z}{z^3}\dd z =\dst\frac{-\cos^2 z}{2z^2}-\dst\int\frac{\sin(2z)}{2z^2}\dd z$

Aplicando partes a la segunda integral se tiene:

$\begin{matrix}<br /> u=\sin(2 z) & u^\prime=2\cos(2 z) \\<br /> v= \dst\frac{-1}{2z}& v^\prime=\dst\frac 1{2z^2}<br /> \end{matrix}$

$\dst\int\frac{\sin(2z)}{2z^2}\dd z=-\dst\frac{\sin(2z)}{2z}+\dst\int\frac{\cos(2z)}{2z}\dd z=-\dst\frac{\sin(2z)}{2z}+\dst\int\frac{\cos t}{t}\dd t\qquad \text{CV:}t=2z$

Ahora hay que tener en cuenta la integral, que se puede expresar como:
$\dst\int\frac{\cos t}{t} \dd t=-\dst\int_t^\infty \frac{\cos w}{w} \dd w + C =\text{Ci}(t)+C$

Donde $\text{Ci}(t)$ es la función coseno integral. Por más detalles pueden consultar http://mathworld.wolfram.com/CosineIntegral.html

Desarmando los cambios de variables se tiene:

$\dst\int\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^3}\dd x=\dst\frac{x^2-1+2x\sqrt{1-x^2}\arcsin x-2\arcsin^2 x\; \text{Ci}(2\arcsin x)}{2\arcsin^2 x}+C^\prime$

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: .Integral arcsenx

Carmelo, una pregunta, ¿de dónde sacaste esa integral impropia? Las vimos la clase anterior por encima, pero supongo que la siguiente clase las veremos con más detenimiento.

Muchas gracias, un saludo!

[carmelo]

Re: .Integral arcsenx

Hola:
Si revisas el vínculo que te dejé podrás saber un poco mas. Es la definición de la función coseno integral.

Saludos
Carmelo