1r ciclo problema con una serie

[kyubirr]

la serie es esta: \sum_{n = 0}^\infty 1/1+\sqrt{k} \
y me dicen que demuestre si es convergente o divergente
he probado por comparacion por el criterio del cociente y no me sale divergente que es como me dicen que es
alguien me puede hechar una mano?

muchas gracias

[kyubirr]

Re: problema con una serie

lo siento pero lo del latex no es lo mio tengo que aprender xD
la series es uno entre uno mas la raiz de k

[carmelo]

Re: problema con una serie

Hola:

Supongo que la serie que queres plantear es:

$\sum_{n = 0}^\infty \dst\frac1{1+\sqrt{k}}$

La cual no converge.

El criterio del cociente no decide si converge o no converge. Prueba con el criterio de la integral.

Saludos
Carmelo

[angel relativamente]

Re: problema con una serie

PD: Para que se te vea el LaTeX escríbela entre los comandos [TEX] [/ TEX]

[skinner]

Re: problema con una serie

Pero si hacemos:

$$\lim_{k \to \infty}\frac{1}{1+\sqrt{k}}$$

Tenemos que converge pues el límite es cero... el límite lo interpreto como: "el valor de la suma cuando k tiende a infinito es un número finito pues el límite converge" o algo así... ¿dónde me he equivocado?

Un saludo y gracias!

[carmelo]

Re: problema con una serie

Hola:

Eso no es asi. Que el limite $\dst\lim_{k \to \infty}\frac{1}{1+\sqrt{k}}=0$ no significa que la serie sea convergente. Sólo es una condición necesaria pero no suficiente.

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: problema con una serie

¿Y cuales condiciones más necesitamos para que realmente sea convergente?

Mil gracias, un saludo!

[carmelo]

Re: problema con una serie

Hola:

Existen criterios para definir si una serie converge o no.

Uno de los mas usados es el del cociente:

Se evalúa el límite:

$L=\dst\lim_{x \to \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}$

Después se distinguen tres casos:
$L<1$ La serie converge.
$L>1$ La serie diverge.
$L=1$ El criterio no decide (Es decir se debe de seguir evaluando la convergencia de la serie mediante otros criterios.)

Después hay muchos más, pero te recomiendo que tengas en cuenta el de la raiz y el de la integral.

Si tenés un libro de cálculo a mano seguro los encontras, sino pregunta que te los detallo.

Para el problema que tu planteastes, deberias utilizar el de la integral ya que el del cociente y el de la raiz no deciden.

Saludos
Carmelo

[Pulley]

Re: problema con una serie

Para el problema que tu planteastes, deberias utilizar el de la integral ya que el del cociente y el de la raiz no deciden.

Nah, es más sencillo, basta notar que $\dfrac{1}{1+\sqrt{k}}>\dfrac{1}{2\sqrt{k}},$ y se concluye la divergencia.

[carmelo]

Re: problema con una serie

Hola:

Tenes razón. Pero habría que asumir que sabemos que la serie $\dst\frac{1}{\sqrt{k}}$ es divergente.

Saludos
Carmelo

[Pulley]

Re: problema con una serie

Obvio que lo sabemos, y se demuestra trivialmente.

[Jose D. Escobedo]

Re: problema con una serie

Nah, es más sencillo, basta notar que $\dfrac{1}{1+\sqrt{k}}>\dfrac{1}{2\sqrt{k}},$ y se concluye la divergencia.

Buena idea, pero esto no es cierto para $k=0$ donde $k$ toma todos los naturales $+\left\{0 \right\}$ deacuerdo a la serie planteada originalmente.

Saludos

[carmelo]

Re: problema con una serie

Hola:

Obvio que lo sabemos, y se demuestra trivialmente.

No estoy poniendo en duda que se sepa, no estoy de acuerdo que sea una demostración trivial. Pero si es asi me gustaría saber como.

Saludos
Carmelo

[Pulley]

Re: problema con una serie

Wow, yo pensé que sabías.

Bueno, quizás trivial suena algo un poco exagerado, pero se basa en la serie p, o como quieran llamarle, es la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}$ con $p\in\mathbb R.$

Esta serie es convergente cuando $p>1$ y diverge para el caso contrario, y su demostración, se basa usando el criterio de la integral.

[carmelo]

Re: problema con una serie

Hola:

Wow, yo pensé que sabías.

Si, ya lo sabía.

Esta serie es convergente cuando $p>1$ y diverge para el caso contrario, y su demostración, se basa usando el criterio de la integral.

A eso iba cuando en mis primeros post le sugeri que utilizara el criterio de la integral. Tu demostración es mas sencilla pero partes de algo que no lo has demostrado aun, y para demostrarlo tenes que hacer el procedimiento que le sugeri al amigo que envió el post. A eso me refería.


Saludos
Carmelo