1r ciclo Calcular A. B y C

[skinner]

Buenas, tras trabajar una integral racional, factorizar el polinomio del denominador, e igualar numeradores, tengo:

$2x^3-2x^2+5=(x-1)(x^2+4)A + (x^2+4)B + (x-1)^2C$

En algunos métodos he visto cómo se deriva en ambos miembros cuando te faltan raíces del polinomio para sustituir en x (por ejemplo, en este caso sólo tengo x=1 para anular A y C, y quedarme con B) Mi pregunta es: ¿cuándo puedo derivar en ambos miembros? ¿dándole valores arbitrarios a x, como por ejemplo x=59, obtengo las soluciones de A, B y C?

Por ejemplo, con x=1, tengo que: 5=5B ---> B = 1

No sé si podría derivar ahora... y en caso de que no se pudiera, ¿por qué muchas veces se termina derivando a ambos lados?

Espero haberme explicado... :P

Un saludo y mil gracias

[GNzcuber]

Re: Calcular A. B y C

Hola skinner,

Puedes derivar en ambos lados porque son polinomios y por tanto funciones continuas, entonces no introducirás soluciones extrañas. Por otra parte estás haciendo la misma operación en ambos lados, así que es correcto. A pesar de lo dicho, es la primera vez que siento que se resuelve derivando, es ventajoso, ya que puede simplificarte los cálculos, de la manera que yo lo hacía era plantear un sistema de ecuaciones. En tu ejemplo agrupamos todos los términos en $\dst x^3$ en el miembro izquierdo y los igualamos al de la derecha, y así con todos los términos que tengan el mismo grado:

$$\dst \left.\begin{aligned}A=2\\ -A+B+C=-2\\ 4A-2C=0\\ -4A+4B+C=5\end{aligned}\right\} \rightarrow \left(\begin{matrix}1&0&0&|&2\\ -1&1&1&|&-2\\ 4&0&-2&|&0\\ -4&4&1&|&5\end{matrix}\right)$$

Y se debería resolver el sistema, en principio parece que hay un grado de libertad, pero en realidad tienes un error, cuando tienes un factor con raíces complejas el término no es una incógnita del estilo "B". Es decir, si tienes por ejemplo:

$$\dst \frac{2x^3-2x^4+5}{(x-1)^2\cdot(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$$

Y el sistema que deberías resolver es un poco diferente.

¡Saludos!

[skinner]

Re: Calcular A. B y C

Claro y conciso, como a mi me gusta... :P

Mil gracias y un saludo!