1r ciclo Ejercicio para entender el concepto de integral

[skinner]

¡Hola buenas! Estoy liado con el ejercicio 6 de este BOLETÍN. Quiero comparar mis respuestas con las de ustedes. Dice:

[FONT=Lucida Console]EJERCICIO 6. Supongamos que f es una función derivable, con f ′(x) > 0 para todo x, y f(1) = 0. ¿Cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas para la función $g(x):=\int_{0}^{x}f(t)dt$? Razona la respuesta. Caso de no ser cierta debes poner un ejemplo.

1) g es una función diferenciable.
2) g es una función continua.
3) la gráfica de g tiene tangente horizontal en x =1.
4) g tiene un mínimo relativo en x =1.
5) g tiene un máximo relativo en x =1.
6) g tiene un punto de inflexión en x =1.
7) la gráfica de g′ corta al eje OX en x =1.[/FONT]

-----------------

Mis respuestas fueron:

1) No tiene por qué ser diferenciable. Hay ejemplos en los que la función g(x) es derivable al igual que f(x), pero también los hay en los que f(x) no lo es. Ejemplo de: $f(x)= [0, si -1\leqslant x\leqslant 0\text { y... } x, si 0\leqslant x\leqslant 1]$

2) Sí (esta fue un poco a suerte)

3) g'(x)=f(x); f(1)=0 --> g'(1)=0 ----> CIERTO

4) NO, pues f es estrictamente creciente para todo x (f`(x)>0)

5) NO, pues f es estrictamente creciente para todo x (f`(x)>0)

6) SÍ, pues: g``(x) = f`(x); f(1)=0-->f`(1)=0 --> g``(x) = 0 --> Pto inflexión (aquí no sé si lo expliqué adecuadamente)

7) g`(x) = f(x); g`(1)=f(1) --> No tiene por qué cortar al eje OX (aunque no sabría decir por qué no)

Espero vuestra ayuda... el dentro de nada tengo mi primer parcial sobre esto!

Un saludo

[Pulley]

Re: Ejercicio para entender el concepto de integral

[FONT=Lucida Console]EJERCICIO 6. Supongamos que f es una función derivable, con f ′(x) > 0 para todo x, y f(1) = 0. ¿Cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas para la función $g(x):=\int_{0}^{x}f(t)dt$? Razona la respuesta. Caso de no ser cierta debes poner un ejemplo.

1) g es una función diferenciable.
2) g es una función continua.[/FONT]

Observa que $f$ fue dada diferenciable para todo $x,$ así que es continua para todo $x,$ entonces de su continuidad, concluimos la diferenciabilidad y a la vez, continuidad de $g,$ todo esto como aplicación directa del TFC.

[Roman]

Re: Ejercicio para entender el concepto de integral

1) Cierto, la primitiva de una funcion es diferenciable.
2) Cierto, la primitiva de una funcion es continua.
3) Cierto, su funcion derivada se anula para x=1.
4) Cierto, su funcion derivada es estrictamente creciente (f'(x)>0 para todo x) y se anula en x=1. Lo cual implica que por la izquierda del 1 la pendiente de g(x) es negativa y despues del 1 es positiva.
5) Falso, tiene un minimo.
6) Falso, la segunda derivada de g(x) no se anula en ningun punto (f'(x)>0 para todo x).
7) Cierto, g'(x) = f(x), en x=1 f(1)=0 (hipotesis de partida).

Espero haber sido de ayuda. Un saludo.

[skinner]

Re: Ejercicio para entender el concepto de integral

Gracias a los dos