1r ciclo Volúmenes con el método de integración

[Nova Genesis]

Hola a todos y gracias por leer mi hilo

Mi duda es sobre un ejercicio de volúmenes que paso a copiar:

"Se taladra un agujero cilíndrico de radio b a través del centro de una esfera maciza de radio a, siendo a>b. Calcula el volumen del sólido resultante."

Lo que yo he hecho ha sido calcular primero el área de la mitad derecha (la que queda en la parte positiva del eje OX) de lo que sería la esfera en el plano OXY (que es un semicírculo con semiejes "a").
Una vez hecho eso, he usado la fórmula de integración por el método de tubos para hallar el volumen de la esfera entre b y a cuando giramos sobre OY el semicírulo.

La duda es que no sé si calculando la integral entre b y a ya estoy omitiendo lo que sería el volumen del agujero cilíndrico, o si debería intentarlo de otra forma.
Un saludo

PD: el resultado me sale: 4\pi /3 · (a^2-r^2)^(3/2). Disculpen que no sepa usar LATEX

[Jose D. Escobedo]

Re: Volúmenes con el método de integración

A el volumen de la esfera restale el volumen del cilindro luego resta los dos pequeños volumenes esfericos que se forman entre el contorno del volumen de la esfera y la partes superior e inferior del cilindro. Es decir:

$\dst V=\frac{4}{3 }\pi {a}^{ 3} -2\pi b^2 \sqrt{a^2 -b^2} - 2\iint_R (\sqrt{a^2 -x^2 -y^2} -\sqrt{a^2-b^2}) d^2x \Rightarrow$...(1)

$\dst V= \frac{4}{3 } \pi {a}^{ 3} -2 \pi b^2\sqrt{a^2 -b^2} -2\int_0^b \int_0^{2 \pi } (\sqrt{a^2 - r^2} - \sqrt{a^2 -b^2} ) d \phi rdr$...(2)

de (2) el resultado es en efecto: $\dst V=\frac{4}{ 3}\pi \dst \left(a^2 -b^2 \right)^\frac{3}{ 2}$