1r ciclo Limite

[arturito]

Hola, me podrían ayudar con este problema de limite, que la estoy haciendo por la definicion pero no estoy seguro si sea asi

dice calcular el area limitada por las graficas de las funciones:
y = x , y = -2x , x = 3

gracias

[natanael]

Re: Limite

Son dos triangulos, que si no fuera por el coeficiente 2 de y=-2x los triangulos fueran simétricos con respecto al eje X y el área fuera dos veces la de cualquier triángulo.

Como ves entre el eje X y la recta x=3 se forma un angulo de 90 grados, entonces puedes utilizar la formula $\dst A=\dfrac{bh}{2}$ , donde $\dst b=x=3$ y $\dst h=y=f(x)$. pero como son dos triángulos de la misma base pero con distintas alturas hay que sub-indizar las alturas.

$\dst h_{1}=y=f(x)=x$ y $\dst h_{2}=y=g(x)=\left\vert{} -2x \right\vert{}$ , el módulo porque no pueden existir alturas negativas

el area total vá a ser [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

evaluando para x=3 queda [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Tambien puede salir por integracion...

$\dst A_{total}=\int_0^3 f(x)\dd x + \left\vert{} \int_0^3 g(x) \dd x \right\vert{} = \int_0^3 x\dd x + \left\vert{} -2\int_0^3 x \dd x \right\vert{}$

$\dst A_{total}=\left. \dfrac{x^2}{2} \right\vert_0^3+\left\vert{} \left.-x^2 \right\vert_0^3 \right\vert{}=\dfrac{9}{2}+9=\dfrac{27}{2}=13.5$

[arturito]

Re: Limite

muchas gracias y una pregunta yo pudiese encontrar la interseccion igualando las 2 funciones?

[natanael]

Re: Limite

Si, lo bueno es que ya te estan dando cuanto vale x es decir $\dst h_{1}=f(3)=3$ y $\dst h_{2}=g(3)=-6$ que son las alturas correspondientes de los dos triangulos, pero como ves g(x) da negativo, por lo que si lo sustituyes en la formula $\dst A=\dfrac{bh_{2}}{2}=\dfrac{3.(-6)}{2}=-\dfrac{18}{2}=-9$ y matematicamente o físicamente no existe un área negativa, por lo que mi solucion es obligar a la funcion a que devuelva un valor positivo usando la funcion módulo.

Tu igualas es cuando tienes dos ecuaciones donde las dos ecuaciones estan en funcion de su eje opuesto y ortogonal, si por ejemplo tienes estas dos ecuaciones:

$$\dst x+y=6$$

$$\dst y-2x=8$$

puedes visualizar facilmente como la variable "y" está facil de despejar de las dos ecuaciones.

de (1) $\dst y=6-x$ y de (2) $\dst y=8+2x$

por lo tanto puedes unir las dos ecuaciones ó funciones (ahora que estan despejadas y dependen de una sola variable de un lado de la igualdad, es que se pueden considerra funciones, ahora, cuando x e y estan implícitas son llamadas estas expresiones "ecuaciones")

Ahora si iguales te queda, $\dst 8+2x=6-x$ y ahora tienes una ecuacion de 1er grado con una incognita donde x=-2/3 y y=f(-2/3) en la ecuancion (1) ó (2) depejada.

De todas forma hay un usuario del Foro de Física que tiene un blog hacerca de esto, y mucho mejor explicado, voy a ver si lo consigo.

EDICION....

Esta sería la representacion grafica de la solucion, un punto (x,y) en un plano X-Y. donde la ecuancion (1) es la de color azul y la (2) la de color rojo, y el punto verde la intercepción.

[arturito]

Re: Limite

Ah ya muchas gracias